京津鲁琼专用2020版高考数学专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习VIP免费

第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题定点问题1．参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)略(2)证明：由题意知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，【关键1：用参数表示P，Q的坐标及向量OQ→，PF→】OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n).由OP→·PQ→＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF→＝0，【关键2：在OP→·PQ→＝1的前提下，证明OQ→·PF→＝0】即OQ→⊥PF→.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【关键3：利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性，即得直线l过点F】2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，32)，P4(1，32)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.(1)略(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22，t，－4－t22.则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设.【关键1：验证直线l与x轴垂直时，直线过定点的情况】从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）x1x2.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.解得k＝－m＋12.【关键2：设出直线l的方程，并与椭圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及条件找到直线l中两个参数的关系】当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－m＋12x＋m，即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1).【关键3：将k＝－m＋12代入直线l的方程，变形得到直线所过定点(2，－1)】[典型例题](2019·郑州市第一次质量预测)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2PN→＝3MN→，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0，0)，因为2PN→＝3MN→，所以2(x0－x，－y)＝3(0，－y0)，即x0＝x，y0＝23y，又点M在圆C：x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，将x0＝x，y0＝23y代入得x24＋y23＝1，即轨迹E的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)可知D(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y＝kx＋mx24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)>0，即3＋4k2－m2>0，所以x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4（m2－3）3＋4k2.y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－12k23＋4k2，因为|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|，所以DA→⊥DB→，即DA→·DB→＝0，即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，所以4m2－123＋4k2＋2×－8mk3＋4k2＋4＋3m2－12k23＋4k2＝0，所以7m2－16mk＋4k2＝0，解得m1＝2k，m2＝27k，且均满足3＋4k2－m2>0，当m1＝2k时，l的方程为y＝...