第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题定点问题1.参数法:参数法解决定点问题的思路:(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP→=2NM→.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OP→·PQ→=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)略(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ→=(-3,t),PF→=(-1-m,-n),【关键1:用参数表示P,Q的坐标及向量OQ→,PF→】OQ→·PF→=3+3m-tn,OP→=(m,n),PQ→=(-3-m,t-n).由OP→·PQ→=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQ→·PF→=0,【关键2:在OP→·PQ→=1的前提下,证明OQ→·PF→=0】即OQ→⊥PF→.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【关键3:利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性,即得直线l过点F】2.由特殊到一般法:由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.高考真题思维方法(2017·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.(1)略(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为t,4-t22,t,-4-t22.则k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1,得t=2,不符合题设.【关键1:验证直线l与x轴垂直时,直线过定点的情况】从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入x24+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·4m2-44k2+1+(m-1)·-8km4k2+1=0.解得k=-m+12.【关键2:设出直线l的方程,并与椭圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系及条件找到直线l中两个参数的关系】当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-m+12x+m,即y+1=-m+12(x-2),所以l过定点(2,-1).【关键3:将k=-m+12代入直线l的方程,变形得到直线所过定点(2,-1)】[典型例题](2019·郑州市第一次质量预测)设M点为圆C:x2+y2=4上的动点,点M在x轴上的投影为N.动点P满足2PN→=3MN→,动点P的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E的左顶点为D,若直线l:y=kx+m与曲线E交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且满足|DA→+DB→|=|DA→-DB→|,求证:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.【解】(1)设点M(x0,y0),P(x,y),由题意可知N(x0,0),因为2PN→=3MN→,所以2(x0-x,-y)=3(0,-y0),即x0=x,y0=23y,又点M在圆C:x2+y2=4上,所以x20+y20=4,将x0=x,y0=23y代入得x24+y23=1,即轨迹E的方程为x24+y23=1.(2)由(1)可知D(-2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y=kx+mx24+y23=1,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=(8mk)2-4(3+4k2)(4m2-12)=16(12k2-3m2+9)>0,即3+4k2-m2>0,所以x1+x2=-8mk3+4k2,x1x2=4(m2-3)3+4k2.y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=3m2-12k23+4k2,因为|DA→+DB→|=|DA→-DB→|,所以DA→⊥DB→,即DA→·DB→=0,即(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=0,所以4m2-123+4k2+2×-8mk3+4k2+4+3m2-12k23+4k2=0,所以7m2-16mk+4k2=0,解得m1=2k,m2=27k,且均满足3+4k2-m2>0,当m1=2k时,l的方程为y=...