2.4抛物线2．4.1抛物线的标准方程双基达标限时15分钟1．已知抛物线过点(－11，13)，则抛物线的标准方程是______________．解析设方程为y2＝2ax或x2＝2a1y，(a，a1≠0)，将(－11，13)代入即得．答案y2＝－x或x2＝y2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．该抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.答案y2＝16x3．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为______________．解析先求出焦点坐标，再由焦点坐标确定抛物线的标准方程．答案x2＝－12y或y2＝16x4．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是________．解析因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.答案5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在曲线－＝1顶点上，则抛物线方程为________．解析由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.答案y2＝±8x6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．解(1)设抛物线标准方程为y2＝－2px或x2＝2p1y(p，p1>0)，则将点(－3，2)代入方程得2p＝，或2p1＝，故抛物线的标准方程为y2＝－x，或x2＝y.(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由＝2，得2p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由＝4，得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述的抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.综合提高限时30分钟7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为__________．解析设A(x0，y0)，F(1，0)，OA＝(x0，y0)，AF＝(1－x0，－y0)，OA·AF＝x0(1－x0)－y02＝－4.∵y02＝4x0，∴x0－x02－4x0＋4＝0即x02＋3x0－4＝0，x0＝1或x0＝－4(舍)．∴x0＝1，y0＝±2.答案(1，2)或(1，－2)8．抛物线y2＝8x的焦点为F，P在抛物线上，若PF＝5，则P点坐标为____________．解析|PF|＝5知xP＋＝5，故xP＝3，yP＝±＝±2.答案(3，2)或(3，－2)9．与抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是________．解析y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线为x2＝y，∴2p＝，p＝，∴焦点为(0，)．答案(0，)10．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m等于________．解析依题意抛物线方程可设为x2＝－2py(p>0)，则准线方程为y＝，∴＋2＝4，∴p＝4，∴方程为x2＝－8y，∴m2＝16.即m＝±4.答案±411．已知抛物线y2＝6x，P是抛物线上一点，设点M的坐标为(4，0)，求|PM|的最小值，并指出此时点P的坐标．解设点P的坐标为(x，y)，则PM＝.又y2＝6x，∴PM＝＝＝.∵x≥0，∴当x＝1时，PMmin＝.此时y2＝6.∴y＝±.∴PM的最小值为，此时点P的坐标为(1，±)．12．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．解由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求PA＋PF的问题可转化为求PA＋d的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.>2∵，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d，由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2，2)．故PA＋PF的最小值为，且取最小值时P点坐标为(2，2)．13．(创新拓展)一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．解以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，由点B在抛物线上，所以()2＝－2p·(－)，p＝，所以抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.所以点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3，解得a>12.21或a<－0.21(舍去)．∵a取整数，∴a的最小值为13m．
