1、基和维的概念2、再论线性代数方程组的解§5.3向量空间的基和维定义设V为向量空间如果r个向量a1a2arV且满足(1)a1a2ar线性无关(2)V中任一向量都可由a1a2ar线性表示那么向量组a1a2ar就称为向量空间V的一个基r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间注(1)只有零向量的向量空间没有基规定其维数为0(2)若把向量空间V看作向量组则向量空间V的基就是向量组的最大无关组向量空间V的维数就是向量组的秩(3)向量空间的基不唯一.5.3.1基和维定义如果在向量空间V中取定一个基a1a2ar那么V中任一向量x可唯一地表示为x1a12a2rar数组12r称为向量x在基a1a2ar中的坐标在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1e2en为基则向量x(x1x2xn)T可表示为xx1e1x2e2xnen可见向量在基e1e2en中的坐标就是该向量的分量注线性空间V的任意向量在不同的基下的坐标一般不同,但一个向量在一组基下的坐标是唯一的.注求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数方程组有无解的问题.解例设Aa1(221)Ta2(212)Ta3(122)TBb1(104)Tb2(432)T验证a1a2a3是R3的一个基并求b1b2在这个基中的坐标3123123,,,,aaaRaaaAE要说明是的一个基,只要证线性无关,即11112123132121222323,,bxaxaxabxaxaxa设则32312221121132121),,(),(xxxxxxaaabb记作BAX32312221121132121),,(),(xxxxxxaaabb记作BAX31123(),,.ABAEaaaRAEBXAB对矩阵施行初等行变换,若能变为,则为的一个基,且当变为时,变为解()221142120312242AB~2410033201013200113r3123~,,AEaaaR因,故为的一个基,且,(,.,)121232433213213bbaaa所以b1b2在基a1a2a3中的坐标依次为1,32,32和32,1,34例设Aa1(221)Ta2(212)Ta3(122)TBb1(104)Tb2(432)T验证a1a2a3是R3的一个基并求b1b2在这个基中的坐标例在R3中取定一个基a1a2a3再取一个新基b1b2b3设A(a1a2a3)B(b1b2b3)求用a1a2a3表示b1b2b3的表示式(基变换公式)并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)即基变换公式为(b1b2b3)(a1a2a3)A1B矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡矩阵解由(a1a2a3)(e1e2e3)A得(e1e2e3)(a1a2a3)A1故(b1b2b3)(e1e2e3)B(a1a2a3)A1B解解基变换公式为(b1b2b3)(a1a2a3)A1B设向量x在旧基和新基中的坐标分别为y1y2y3和z1z2z3这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式则321321321321),,(),,(zzzyyybbbaaa即321321zzzByyyA于是3211321yyyABzzz则321321321321),,(),,(zzzyyybbbaaa即321321zzzByyyA例在R3中取定一个基a1a2a3再取一个新基b1b2b3设A(a1a2a3)B(b1b2b3)求用a1a2a3表示b1b2b3的表示式(基变换公式)并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)定理设b1、…、bs及f1、…、ft是向量空间的任两组基,则必有s=t.定义向量空间V的任一基向量的个数,称为空间V的维(dimension),记这个数为dimV证利用等价向量组根据向量空间基的定义可知两组基等价的,从而其秩相等:12rr由基的定义知两组向量组都线性无关,即由基的定义知两组向量组都线性无关,即21,rsrt从而st由于Rn有一组明显的自然基,...