第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用A级基础巩固一、选择题1．已知x和y之间的一组数据x0123y1357则y与x的线性回归方程y^＝b^x＋a^必过点()A．(2，2)B.32，0C．(1，2)D.32，4解析： x－＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y－＝14(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程y^＝b^x＋a^必过点32，4.答案：D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x－5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．答案：D3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最好的同学是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：相关指数R2越大，表示回归模型的效果越好．答案：A4．如图所示的是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是()解析：残差图中，只有A、B是水平带状区域分布，且B中残差点散点分布集中在更狭窄的范围内所以B项中回归模型的拟合效果最好．答案：B5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－－b^x－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元解析：先求a^，再利用回归直线方程预测．由题意知，x－＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y－＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．答案：B二、填空题6．如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为________，相关指数R2＝________．解析：由题意知，yi＝y^i∴相应的残差e^i＝yi－y^i＝0.相关指数R2＝1－答案：017.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和如表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103________同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高．解析：由图表知，丁同学拟合的残差平方和为103最小．即R2最大，所以丁的拟合效果好，精度高．答案：丁8．若下表数据对应的y关于x的线性回归方程为y^＝0.7x＋a，则a＝________．x3456y2.5344.5解析：x－＝4.5，y－＝3.5，回归直线过样本中心点(x－，y－)，则3.5＝0.7×4.5＋a，所以a＝0.35.答案：0.35三、解答题9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：单位x(元)88.28.48.68.89销售y(件)908483807568(1)求回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝－20，a^＝y－－b^x－；(2)预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x－＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y－＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b^＝－20，所以a^＝y－－b^x－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y^＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．某企业每天由空气污染造成的经济损失y(单位：元)与空气污染指数(API)x的数据统计如下：空气污染指数(API)x150200250300经济损失y200350550800(1)求出y与x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(2)若该地区某天的空气污染指数为800，预测该企业当天由空气污染造成的经济损失；(3)若相关指数R2＝0.9587，请说明其含义．解：(1)x－＝14(150＋200＋250＋300)＝225，y－＝14(200＋350＋550＋800)＝475.所以b^＝5000012500＝4，a^＝y－－b^x...
