三维旋转矩阵(大学)VIP免费

第7章三维变换7.1简介7.2三维几何变换7.3三维坐标变换7.1简介三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理起来更为复杂。与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。7.2三维几何变换7.2.1基本三维几何变换1.平移变换若空间平移量为(tx,ty,tz)，则平移变换为zyxtzztyytxxP(x,y,z)P’(x’,y’,z’)xyz101000010000111zyxtttzyxzyx补充说明：点的平移、物体的平移、多面体的平移、逆变换2.比例变换100000000000011zyxssszyxzyx（1）相对坐标原点的比例变换一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为xyzzyxzszysyxsx,,其中zyxsss,,为正值。（2）相对于所选定的固定点的比例变换zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)(1)(2)(3)1111000000000,,,,,,fzfyfxzyxfffzyxfffzsysxsssszyxTsssSzyxT3.绕坐标轴的旋转变换三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。（1）绕z轴旋转xxxyyyzzzzzyxyyxxcossinsincosxzyx（2）绕x轴旋转xxzyzzyycossinsincos（3）绕y轴旋转yyxzxxzzcossinsincos1000010000cossin00sincos11zyxzyx10000cossin00sincos0000111zyxzyx10000cos0sin00100sin0cos11zyxzyx绕z轴旋转绕x轴旋转绕y轴旋转旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵cossinsincos中的元素添入相应的位置中，即对于单位矩阵1000010000100001xyzxyz旋转变换矩阵规律:，绕哪个坐标轴(1)绕z轴正向旋转角，旋转后点的z坐标值不变,x、y坐标的变化相当于在xoy平面内作正角旋转。1000010000cossin00sincos11zyxzyx1000010000100001xyzxyz(2)绕x轴正向旋转角，旋转后点的x坐标值不变，Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正角旋转。10000cossin00sincos0000111zyxzyx10000cos0sin00100sin0cos11xyzxyz即10000cos0sin00100sin0cos11zyxzyx这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。(3)绕y轴正向旋转角，y坐标值不变，z、x的坐标相当于在zox平面内作正角旋转，于是7.2.2组合变换1.物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤:(1)平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合;(2)沿着该坐标轴进行指定角度的旋转;(3)平移物体使旋转轴移回到原位置。xyzxyz(a)(b)yxz(c)xz(d)1TRTRx2.绕任意轴旋转的变换(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;xyzP1••P2xyzP’1••P’2(1)(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;xyzP’1••P2’’(2)yxzP’1••P2’’(3)(4)应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向;(5)应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。xyzP’1••P’2(4)xyzP1••P2(5)例.求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,...