高三一轮第九章计数原理与概率、随机变量及其分布9.6几何概型（检测教师版）时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为S，则S4×6＝300－96300，故S＝16.32.2．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为()A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)，故所求概率为P＝5－25－0＝35，故选C.3．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A.45B.35C.π60D.π3【答案】A【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.4.设不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥0所表示的区域为M，函数y＝1－x2的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为()A.2πB.π4C.π8D.π16【答案】B【解析】如图，不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥0表示的区域M为△ABC及其内部，函数y＝1－x2的图象与x轴所围成的区域N为阴影部分，易知区域M的面积为2，区域N的面积为π2，由几何概型的概率公式知所求概率为π22＝π4.5.在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】C【解析】如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，则在Rt△AHB中，BH＝AB·cos60°＝2cos60°＝1；过点A作AM⊥AB，交BC于点M，则在Rt△ABM中，BM＝ABcos60°＝4，故MC＝BC－BM＝2.由图可知，要使△ABD为钝角三角形，则点D只能在线段BH或线段MC上选取，故所求事件的概率P＝1＋26＝12，故选C.6.设k是一个正整数，已知1＋xkk的展开式中第四项的系数为116，函数y＝x2与y＝kx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点(x，y)恰好落在阴影部分内的概率为()A.1796B.532C.16D.748【答案】C【解析】由题意得C3k1k3＝116，解得k＝4.阴影部分的面积S1＝04(4x－x2)dx＝2x2－13x340＝323， 任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，∴以x、y为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S2＝4×16＝64，所以所求概率P＝S1S2＝16，故选C.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.在区间－π2，π2上随机取一个数x，cosx的值介于0至12之间的概率为________.【答案】13【解析】由0≤cosx≤12，x∈－π2，π2，可得－π2≤x≤－π3，或π3≤x≤π2，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝2π2－π3π2－－π2＝13.8.若任取x，y∈[0，1]，则点P(x，y)满足y≤x12的概率为_______．【答案】23【解析】如图， 阴影部分的面积S＝01x12dx＝23x3210＝23，∴所求概率P＝S1×1＝23.9．已知线段AC＝16cm，先截取AB＝4cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方形的长和宽，则长方体的体积超过128cm3的概率为________．【答案】13【解析】依题意，设长方体的长为xcm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)>128，得x2－12x＋32<0，得40的概率为________.【答案】e－2【解析】由已知得f′(x)＝1－lnxx2，x∈[2，3]，故f′(x)>0?1－lnxx2>0，解得2
