【创新设计】-学年高中数学2-7-1~2向量的应用举例活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．已知A，B，C，D四点坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()．A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析∵AB＝(3,3)，DC＝(2,2)，∴AB∥DC，|AB|≠|DC|.答案A2．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()．A．30°B．60°C．90°D．120°解析作OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，则OC＝OA＋OB，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.答案D3．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定解析由(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，得[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝0，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝0.所以|AB|2－|AC|2＝0，∴|AB|＝|AC|，故△ABC是等腰三角形．答案B4．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则两平行线间的距离是________．解析AB＝(m＋2,4－m)，AB·(2,1)＝0，∴m＝－8，∴直线AB方程为2x＋y＋12＝0.∴d＝＝.答案5．已知点A(－1,2)，B(0，－2)，若点D在线段AB上，且2|AD|＝3|BD|，则点D的坐标为________．解析由题意得OD＝OA＋AD＝OA＋AB＝(－1,2)＋(1，－4)＝，所以D.答案6．如图，点O是▱ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．证明设AB＝a，AD＝b，由E，F分别为对应边的三等分点，得FO＝FA＋AO＝－a＋AC＝－a＋(a＋b)＝a＋b，OE＝OC＋CE＝AC＋CD＝(a＋b)－a＝a＋b.所以FO＝OE.又因为O为其公共点，所以点E，O，F在同一直线上．综合提高限时25分钟7．已知直线l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线l2：(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直，则实数m的值是()．A．－2B.C．－2或D．－或2解析(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝(m＋2)(4m－2)＝0.∴m＝－2或.答案C8．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是()．A．点P在△ABC内部B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上D．点P在AC边上解析PC＝AB－PB－PA＝AB＋BP＋AP＝2AP，故PC、AP共线，故P、A、C共线，故P在AC上．答案D9．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|为________．解析∵F1＋F2＝－F3，(F1＋F2)2＝(－F3)2.即F＋F＋2F1·F2＝F，∴F1·F2＝－.∴|F1－F2|＝＝＝.答案10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：①AC＋AF＝2BC；②AD＝2AB＋2AF；③AC·AD＝AD·AB；④(AD·AF)·EF＝AD·(AF·EF)．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析如图．∵AC＋AF＝AB＋BC＋AF，依平行四边形法则，AF＋AB＝AD＝BC，∴AC＋AF＝2BC，命题①正确．∵AF＋AB＝AD，∴AD＝2AB＋2AF，命题②正确．∵(AC－AB)·AD＝BC·AD＝2|BC|2≠0，∴AC·AD－AD·AB≠0，故命题③不正确．∵(AD·AF)·EF＝(－2EF·AF)·EF＝－2(EF·AF)·EF＝(EF·AF)·AD＝(AF·EF)·AD，∴命题④正确．故答案为①②④.答案①②④11．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10m/s2)解设木块的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×＝500(J)．F在竖直方向上的分力的大小为|F1|＝|F|·sin30°＝50×＝25(N)．则f＝μ(mg－|F1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)．所以f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F与f所做的功分别是500J与－22J.12．(创新拓展)如图，▱ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点．求证：AR＝RT＝TC.证明设AB＝a，AD＝b，AR＝r，则AC＝a＋b.由于AR∥AC，所以设r＝n(a＋b)，n∈R.又∵EB＝AB－AE＝a－b，ER∥EB，故设ER＝mEB＝m.∵AR＝AE＋ER，∴r＝b＋m(a－b)．所以n(a＋b)＝b＋m，即(n－m)a＋b＝0.由于a与b不共线，故必有，解得m＝n＝，∴AR＝AC，同理TC＝AC，于是RT＝AC.∴AR＝RT＝TC.
