11.2合情推理与演绎推理一、选择题1．由>，>，>…，若a>b>0，m>0，则与之间大小关系为()A．相等B．前者大C．后者大D．不确定答案：B2．自然数按下表的规律排列1251017||||4—361118|||9—8—71219||16—15—14—1320|25—24—23—22—21则上起第2007行，左起第2008列的数为()A．20072B．20082C．2006×2007D．2007×2008解析：经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.答案：D3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．答案：B4．如下图所示，把1,3,6,10,15,21…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30解析：a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，∴an－an－1＝n，∴an＝n＋(n－1)＋(n－2)…＋＋2＋1＝，∴a7＝＝28.答案：B二、填空题5“”“”．中学数学中存在许多关系，比如相等关系、平行关系等等．如果集合A中元素之间“”的一个关系～满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a∈A，都有a～a；(2)对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c，“”则称～是集合A“”“”的一个等价关系．例如：数的相等是等价关系，而直线的平行不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：________.“”“”“”“答案：答案不唯一，如图形的全等、图形的相似、非零向量的共线、命题的充”要条件等等．6．设正数数列{an}前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有自然数n，有＝，则通过归纳猜想可得到Sn＝________.解析：令n＝1，则＝，∴S1＝a1＝t.令n＝2，则＝，则a2＝3t.∴S2＝4t.同理S3＝9t.归纳Sn＝n2t.答案：n2t7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如下图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．答案：S＋S＋S＝S三、解答题8．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.通过观察上述两个不等式的规律，请写出一个一般性的命题，并给出证明．解答：一般性的命题为：sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin2(120°＋α)＝.证明如下：左边＝＋＋＝－[cos2α＋cos(120°＋2α)＋cos(240°＋2α)]＝－[cos2α＋cos120°cos2α－sin120°sin2α＋cos240°cos2α－sin240°sin2α]＝＝右边．所以命题得证．9．如右图所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．证明：(1) PM⊥BB1，PN⊥BB1，∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cosα.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角. CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcos∠MNP⇒PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SA...
