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高中数学 8.3解三角形的应用举例(二)活页训练 湘教版必修4VIP免费

高中数学 8.3解三角形的应用举例(二)活页训练 湘教版必修4_第1页
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8.3解三角形的应用举例(二)双基达标(限时20分钟)1.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积S=220,则BC的长为().A.20B.75C.51D.49解析×16×csin60°=220,∴c=55,由余弦定理,BC==49.答案D2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为().A.米B.米C.米D.米解析由题意可知,∠DAC=60°,∠OAC=∠DAB=30°,在△AOC中,AO=200,所以OC=,而AD=OC=.在△ABD中,BD=×=,因此塔高为200-=(米),故选A.答案A3.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15分钟时,两船的距离是().A.kmB.kmC.kmD.km解析如图,由题意知AM=8×=2,BN=12×=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BN·cos120°=1+9-2×1×3×(-)=13,所以MN=km.答案B4.已知△ABC中,B=60°,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.解析由余弦定理,AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos60°=3.∴AD=.答案5.一飞机沿水平方向飞行,在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行了10000米,到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的距离为________米.解析在△ABC中,AB=10000,∠A=30°,∠B=105°,则∠C=45°,由正弦定理=,∴BC===5000(米).答案50006.如右图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群自西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里后到达D处,又测得小岛在北偏东35°,如果渔船不改变航向继续前进,有无触礁的危险?解在△ABD中,∠ABD=30°,∠ADB=125°,则∠BAD=25°,又BD=12,由正弦定理得AD===14.197.在Rt△ACD中,AC=ADsin55°=11.62海里.11.62>8∵,∴渔船继续向东航行,无触礁危险.综合提高限时25分钟7.如图为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°,且A、B两点之间的距离为60m,则树的高度为().A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+3)m解析由正弦定理可得=,PB==(m),h=PBsin45°=30+30(m).答案A8.三角形两边之差为2,夹角的余弦值为,面积为14,那么这个三角形的两边长分别是().A.3和5B.4和6C.6和8D.5和7解析设a-b=2,cosC=,sinC=,S△ABC=absinC,ab=35,由a-b=2和ab=35,解得a=7,b=5.答案D9.如图,在山底测得山顶仰角仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为________米.解析如图∠SAB=45°-30°=15°,又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°,AS=1000.由正弦定理可知=,∴BS=2000sin15°,∴BD=BS·sin75°=2000sin15°cos15°=1000sin30°=500,且DC=1000sin30°=500.从而BC=DC+DB=1000(米).答案100010.某人在C点测得塔顶A在南偏西80°,仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10m到B点,测得塔顶A仰角为30°,则塔高为________米.解析设塔底为A′,AA′=h,则借助于实物模拟图(如图)可以求得A′C=h,A′B=h,在△A′BC中,A′C=h,BC=10,A′B=h,∠A′CB=120°.∴(h)2=h2+100-2h×10×cos120°.即h2-5h-50=0,解得h=10.答案10米11.在△ABC中,已知ab=60,sinA=cosB,S△ABC=15,求三个内角.解∵S△ABC=absinC=15,且ab=60,∴sinC=.∴C=30°或C=150°.由sinA=cosB,得sinA=sin(90°-B).∴A=90°-B或A=180°-(90°-B).即A+B=90°或A=90°+B.若A+B=90°,则C=180°-(A+B)=90°,显然不成立.∴A=90°+B.当C=30°时,A+B=150°,∴A=120°,B=30°.当C=150°时,A+B=30°,从而B=-30°,不合题意.综上可知,A=120°,B=C=30°.12.(创新拓展)在进行一场垒球比赛前,教练布置战术时,要求击球手,以与连接本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出,根据经验及测速仪显示,通常情况下,球速为游击手最大跑速的4倍,问这样的布置,游击手能否接着球?解设游击手可以在B处接到球,而游击手从A点跑出,本垒为O点,如图,令从击出球到接着球的时间为t,球速为v,则∠AOB=15°,OB=vt,AB≤·t.在△AOB中,由正弦定理得=,sin∴∠OAB=≥·=-,∵(-)2=8-4>8-4×1.73>1,即sin∠OAB>1.∴这样的∠OAB不存在,因此游击手不能接着球.

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