线形代数方程组的解法VIP专享VIP免费

第五章线形代数方程组的解法学习目标了解求解线性代数方程组的基本定理掌握高斯消元法及其计算机实现理解用矩阵分解法求解线性方程组的原理掌握大型稀疏方程组的迭代法5.1线形代数方程组的直接解法n阶线形方程组:(5.1)矩阵形式:其中要求A非奇异.11112211211222221122.........nnnnnnnnnnAxAxAxBAxAxAxBAxAxAxBAx=B解的判断AxbAA线性方程组有解的充分必定理1（线性代数方程组要条件是：秩（）=秩有解判定理（别））(1)()(),AxbAArnAxb线性方程组有解（即相容）时，秩定理2秩则方程组存在唯一解。(2)()(),rArArnAxb方程组有无穷多解。()()rArAAxbmn方程组无解（即不相容）。常见是数值求解方法有以下三条途径（三种框架）直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算可求出精确解。迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限次迭代过程求解。高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的选主元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题。高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代”过程.5.1.1高斯消去法5.1.1高斯消去法思想:把矩阵A化为一个上三角矩阵，从而将原方程组约化为容易求解的等价三角方程组，再通过回代过程既可逐一求出各未知数.方法:逐列消元.例:矩阵形式:123123123239424xxxxxxxxxAx=B231111121A123xxxx944B增广矩阵:对A的第一列消元,进行行变换把A21,A31化为零:对A的第二列消元,进行行变换把A32化为零:2319[11141214AB]13/21/29/21114121413/21/29/201/21/21/207/23/217/213/21/29/2011107/23/217/213/21/29/201110055进一步:计算x,13/21/29/20111001112323331922211xxxxxx31x2312xx1239311222xxx对于n阶方程组,增广矩阵为:对第一列消元:11121121222212.........nnnnnnnAAABAAABAAABAB112111111111212221221221111111112121111111111...0...0...nnnnnnnnnnnAABAAAAABAAAABAAAAAABAAAABAAAA重新记为:对第二列消元得到:1111211111222211121...0...0...nnnnnnAABAABAAB1111121311222232222231...01...00...nnnnnnAAABAABAAB继续消元过程,最后得到:计算x的值:111112131122223223333111,11...01...001...00...1000...1nnnnnnnnnnAAABAABABABB1111,222222332111111211......nnnnnnnnnnnnnnxBxBAxxBAxAxxBAxAx或者写成:注1:在消元过程中所有不能为零.MATLAB程序:functionx=gauss1(A,B)%gauss消去法解线性方程组Ax=Bn=length(B);C=[AB];11,2,...,1nnnniiiiijjjixBxBAxinn1iiiAfori=1:nifC(i,i)~=0C(i,:)=C(i,:)/C(i,i);forj=i+1:nC(j,:)=C(j,:)-C(j,i)*C(i,:);endelseerror('对角线元素为零');endendx(n)=C(n,n+1);fori=n-1:(-1):1ss=C(i,i+1:end-1)*x(i+1:end)';x(i)=C(i,n+1)-ss;end>>A=[231;111;1-2-1];>>B=[9;4;-4];>>x=gauss1(A,B)x=121>>A=[031;111;1-2-1];>>x=gauss1(A,B)???Errorusing==>gauss1对角线元素为零注2：在消元过程中，若相对于该列中对角线以下的元素相比，其绝对值很小时，尽管消去运算可以进行下去，但是用其作除数，即使很小的舍入误差也会引起计...