一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，点A、B、C分别是OO上的点，CD是OO的直径，P是CD延长线上的一点,AP=AC.(1)若/B=60°，求证：AP是O0的切线；(2)若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4,求BE・AB的值.【答案】(1)证明见解析；(2)8.【解析】(1)求出/ADC的度数，求出ZP、ZACO、ZOAC度数，求出ZOAP=90°,根据切线判定推出即可；(2)求出BD长，求出△DBE和厶ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.试题解析：连接AD，OA，TZADC=ZB，ZB=60°,ZADC=60°，TCD是直径，ZDAC=90°，ZACO=180°-90°-60°=30°,TAP=AC，OA=OC，ZOAC=ZACD=30°，ZP=ZACD=30°,Z0AP=180°-30°-30°-30°=90°,即OA丄AP,TOA为半径，.AP是OO切线.(2)连接AD,BD,TCD是直径，ZDBC=90°,TCD=4,B为弧CD中点，4•••BD=BC=T',.ZBDC=ZBCD=45°,ZDAB=ZDCB=45°,即ZBDE=ZDAB,TZDBE=ZDBA,△DBE-△ABD,BDAB•HF一汀・・•BE・AB=BD・BD=g'l::.考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质.2.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=CB，以AB为直径的OO交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交OO于点G,DF丄DG，且交BC于点F.(1)求证：AE=BF；(2)连接EF,求证：ZFEB=ZGDA；(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求AGFD的面积.【答案】(1)(2)见解析；(3)9【解析】分析：(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出ZA与ZC的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到/ADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边1上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=2AC,进而确定出/2厶FBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．详解：（1）连接BD.在RtAABC中，ZABC=90°,AB=BC,AZA=乙C=45°.1TAB为圆0的直径，AZADB=90°,即BD±AC,AAD=DC=BD=—AC,ZCBD=ZC=45°,AZA=ZFBD.•:DF丄DG,AZFDG=90°,AZFDB+ZBDG=90°.'ZA=ZFBD•:ZEDA+ZBDG=90°,AZEDA=ZFDB-在厶AED和厶BFD中，十AD=BDZEDA=ZFDBA△AED^△BFD(ASA),AAE=BF；(2)连接EF,BG.△AED竺△BFD,ADE=DF.TZEDF=90°,A△EDF是等腰直角三角形，AZDEF=45°.•ZG=ZA=45°,AZG=ZDEF,AGBIIEF,AZFEB=ZGBA.TZGBA=ZGDA，AZFEB=ZGDA；(3)•AE=BF,AE=2,ABF=2.在RtAEBF中，ZEBF=90°,A根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2.•EB=4,BF=2,AEF=.-4—+2—=2f5.DE•△DEF为等腰直角三角形，ZEDF=90°,AcosZDEF=EF•EF=2、［5,GEEB•ZG=ZA,ZGEB=ZAED,A△GEB-△AED,A=,即GE・ED=AE・EB,AEEDAJ®・GE=8,即GE=斗0，则GD=GE+ED=9|0.•••S二GDxDFx2二GDxDEx2=^5_-心2二9.点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.3.已知A(2,0)，B(6,0)，CB丄x轴于点B，连接AC画图操作：(1)在y正半轴上求作点P,使得/APB=ZACB(尺规作图，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，1①若tanzAPB二，求点P的坐标②当点P的坐标为时，zAPB最大拓展延伸：4一一(3)若在直线y二3x+4上存在点P,使得ZAPB最大，求点P的坐标【答案】(1)图形见解析(2)(0,2),(0,4)(0,2、污)(3)(岸5-3,空)5【解析】试题分析：(1)以AC为直径画圆交y轴于P,连接PA、PB,ZPAB即为所求；(2)①由题意AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P,易知P(0,2),P'(0,6)；②当OK与y轴相切时，ZAPB的值最大，(3)如图3中，当经过AB的园与直线相切时，ZAPB最大.想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：(1)ZAPB如图所示；1AB••ZAPBSCB,••...
