专题训练(一)直角三角形与勾股定理的应用?类型之一共边直角三角形的问题1．如图1－ZT－1，一架梯子的长度为2.5米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端0.7米．(1)这个梯子顶端离地面________米；(2)如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？图1－ZT－12．如图1－ZT－2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以每秒0.5米的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)图1－ZT－2?类型之二构造直角三角形解决问题3．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图1－ZT－3，近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．(1)A城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？(2)如果A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？图1－ZT－34．如图1－ZT－4，小红同学要测量A，C两地的距离，但A，C之间有一个水池，不能直接测量，于是她在A，C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A，C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出A，C两地之间的距离．(参考数据：21≈4.6，保留到整数位)图1－ZT－4?类型之三直角三角形中的测量问题5．如图1－ZT－5，小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮他计算一下旗杆的高度吗？图1－ZT－5?类型之四最短路径问题6．如图1－ZT－6，有一个圆柱形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，在容器内壁距上边缘4cm的A处停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬3cm到达B处时(B处与A处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少厘米？(容器厚度忽略不计)．图1－ZT－6?类型之五直角三角形与面积问题7．如图1－ZT－7，学校有一块三角形草坪，数学课外小组的同学测得其三边的长分别为AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．(1)小明根据测量的数据，猜想△ABC是直角三角形，请判断他的猜想是否正确，并说明理由；(2)若计划修一条从点C到AB边的小路CH，使CH⊥AB于点H，求小路CH的长．图1－ZT－7?类型之六直角三角形作图与计算问题8．如图1－ZT－8，在笔直的公路l的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC＝3km，BD＝4km.现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等．(1)试用直尺和圆规在图中作出点P；(保留作图痕迹)(2)连接AP，BP，若测得∠APB＝90°，求A村到车站的距离．图1－ZT－8详解详析1．解：(1)梯子底部离墙底端0.7米，且梯子的长度为2.5米，则在梯子与地面、墙面构成的直角三角形中，梯子顶端与地面的距离为2.52－0.72＝2.4(米)．故答案为2.4.(2)设梯子的底部在水平方向上滑动了x米，则(2.4－0.4)2＋(0.7＋x)2＝2.52，(0.7＋x)2＝2.52－22＝2.25，∴0.7＋x＝1.5(0.7＋x＝－1.5已舍去)，∴x＝0.8.答：梯子在水平方向上滑动了0.8米．2．解：在Rt△ABC中， ∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，∴AB＝132－52＝12(米)． 此人以每秒0.5米的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，∴CD＝13－0.5×10＝8(米)，∴AD＝CD2－AC2＝82－52＝39(米)，∴BD＝AB－AD＝(12－39)米．答：船向岸边移动了(12－39)米．3．解：(1)A城会受到这次沙尘暴的影响．理由：如图，过点A作AC⊥BM，垂足为C.在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝12×240＝120(km)． AC＝120km＜150km，∴A城会受到这次沙尘暴的影响．(2)设点E，F是以点A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，由题意得CE＝AE2－AC2＝1502－1202＝90(km)，∴EF＝2CE＝2×90＝180(km)．180÷12＝15(时)．答：A城遭受影响的时间为15小时．4．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. ∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°.在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，∴BD＝12BC＝12×20＝10(米)，∴CD＝202－102＝103(米)，∴AD＝AB＋BD＝80＋10＝90(米)．在Rt△ACD中，...
