第4讲分解质因数知识网络（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数。如把12分解质因数得，这时称2和3是12的质因数。（3）算术基本定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积。（4）如果把相同的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能惟一地表示成：（其中质数；，，⋯，是自然数，它们分别是，，⋯，的指数），则上式称为N的标准分解式。（5）分解质因数的方法主要是短除法。（在小学阶段）试除时一般从最小质数开始。重点·难点质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的共同约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。学法指导已知约数的个数，求原自然数，属于求一个合数的约数个数的逆向问题。首先把约数个数分解质因数，逆推求出原自然数，再从中找到符合题目要求的一个。经典例题[例1]将八个数14、33、35、30、75、39、143、169分成两组，每组四个数，并且每组四个数的乘积相等，应该怎样分？思路剖析要使两组数的乘积相等，就要使两组中的质因数一样，并且相同质因数的个数相同。为此，我们先将八个数分解质因数：14=2×733=3×1135=5×730=2×3×575=3×5×539=3×13143=11×13169=13×13通过观察各式可知，八个数中，质因数2、7、11各有两个，质因数3、5、13各有四个，所以每组中应该是2、7、11各有一个，3、5、13各有两个。解答首先将14=2×7分在第一组，另外两个含有质因数2和7的数30=2×3×5和35=5×7就应分在第二组。这样，在第二组中不仅有2与7，还有两个5，所以另外两个质因数5就应分在第一组，即75=3×5×5归在第一组中。其次，将169=13×13分在第一组，含有13的另外两个数39=3×13和143=11×13就应分在第二组。由于质因数11只有两个，因而含有11的另一个数33=3×11就应分在第一组。在上述分组过程中没有考虑过质因数3，所以，应核对一下两组中的质因数3，结果是各含有两个，所以分组结果是正确的，即第一组有14，75，169，33；第二组有35，30，39，143。利用八个数分解质因数的式子，容易验证两组数的乘积相等。说明：在上述分组过程中，当然也可以将169分在第二组，那么39、143在第一组，33在第二组，因此，还可得到另外的一种分组方法：第一组：14，75，39，143；第二组：35，30，169，33。[例2]在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中0环表示脱靶。现在甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764。但是，甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数各是多少？思路剖析两人5箭得到的环数的积都是1764。显然，每箭的环数都不是0和10，每箭的环数都是1764的约数，将1764分解质因数：1764=2×2×3×3×7×7因为7×2=14，7×3=21都大于10，而每箭的环数都是小于10的自然数，所以甲、乙二人5箭中必有两箭射中的环数是7环，其他3箭射中的环数必定是2×2×3×3的约数，且这些约数应小于10。将2×2×3×3写成3个小于10的自然数之积，只有下面五种可能：2×2×3×3=1×4×9=1×6×6=2×2×9=2×3×6=3×3×4即这3箭射中的环数有五种可能：l，4，9；l，6，6；2，2，9；2，3，6；3，3，4。解答对应这五种情况，5箭射中的环数有下面五种情况：7，7，1，4，9，总环数=287，7，1，6，6，总环数=277，7，2，2，9，总环数=277，7，2，3，6，总环数=257，7，3，3，4，总环数=24总环数中只有24与28之差是4，根据题意，甲的总环数是24，乙的总环数是28。［例3］把37拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？思路剖析由以往的经验可知，如果若干个数的和一定，那么拆的数越多（不能有1）则积越大，并可推出拆出的数（1除外）越多，积越大。假设37拆成的是五个质数的和，那么最小的五个质数和为3+5+7+11+13=39，大于37，所以37不能拆成五个质数的和。那么为什么不从2开始加起呢？不难发现，五个质数中，如有一个为2是偶数，剩下的四个必为奇数，而其和为偶数，2与四个质数的和也必为偶数，37是奇数，所以不能取从2开始的五个最小质数，当取3、5、7、11、13这五个质...
