几何中最值定值问题教师新版VIP免费

1/30【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．21B．5C．14555D．52【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时， AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。DE=2222ADAE112，∴OD的最大值为：21。故选A。例2.在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是。2/30【答案】4。【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。 ∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME与△AMN中， BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。又 CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。 BC=42，∠ABC=45°，∴CE的最小值为42sin450=4。∴CM+MN的最小值是4。二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．【答案】245。【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又 BC＝6，∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得222222BPABAPBPBCCP，。3/30∴2222ABAPBCCP，即22225x66x，解得7x=5。∴22757624BP5==5255，即BP的最小值是245。例2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】A．1B．3C．2D．3＋1【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析：（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得P1K1=PK1，P1K=PK。由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q=P1K1＋QK1=PK1＋QK1。∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∠A=120°，∴∠DAQ1=30°。又 AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=3233。综上所述，PK+QK的最小值为3。故选B。例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，4/30问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边...