利用三角形全等是证明线段相等的重要方法之一VIP免费

利用三角形全等是证明线段相等的重要方法之一，但有时不能直接应用，就需要根据条件通过作辅助线构造全等三角形，使题目中的条件集中.构造全等三角形的方法主要有翻折，旋转，截取，延长等.1.翻折法构造全等三角形【例1】如下图所示，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求证：AB=BC+CD.【分析】要证AB=BC+CD，由BD平分∠ABC，我们想到翻折△BCD，使得BC与AB重合，如上图，翻折了以后再证明AE＝DE就可以了.证明：BD平分∠ABC，将△BCD沿BD翻折180°，点C落在BA上的E点，则有BC=BE，在△BCD和△BED中，∴△BCD≌△BED（SAS）∴∠DEＢ=∠ACB=90°，CD=DE，（全等三角形对应边，对应角相等）∴∠DEＡ=90°，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴∠EDA=∠A=45°，∴DE=EA，∴AB=BE+EA=BC+CD，即AB=BC+CD.2.旋转法构造全等三角形【例2】如下图所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分∠EAD.求证：BE+DF=AE.【分析】由于要证结论是BE+DF=AE，我们自然想到把BE、DF放在同一条直线上.由于四边形是正方形，所以旋转△ADF可实现我们的设想.证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，则△ADF≌△ABG，∴∠G=∠AFD，∠GAB=∠FAD，DF=BG，∴BE+DF=BE+BG=GE.又∵AF平分∠EAD，∴∠FAD=∠FAE=∠GAB.∴∠GAB+∠BAE=∠FAE+∠BAE，即∠GAE=∠BAF.又∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD＝∠GAE=∠G.∴在△EAG中，AE=GE，即BE+DF=AE.【点评】利用旋转巧妙地将两条分离的线段“连接”在一起从而得证，利用旋转构造三角形全等是经常用到的方法.3.延长法构造全等三角形【例3】如下图所示，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD.“【分析】本题要证的结论也是两条线段长度之和等于一条线段的长度，与前面例2的思路相同，我们想到使不共线两条线段AC、CD组合成一条线段，延长AC是必然的（如上图）.由于有条件∠1＝∠2，然后再证明△ABD≌△AED就轻而易举.证明：延长AC至E，使AE=AB，连接DE，在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED.∴∠B=∠E.∵∠ACD=∠E+∠CDE，∠ACD=2∠B，∴∠ACD=2∠E.∴∠E=∠CDE.∴CD=CE.∴AB=AC+CD.【小结】本例中用到的方法叫“补短法”，是将较短的线段AC补长，构造全等三角形，从而达到求解目的.也可采用“截长法”，即在AB上截取AF=AC，连接DF，构造三角形全等，这两种方法通常适合于证明一条线段等于两条线段的和.4.截取法构造全等三角形【例4】如下图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠B=2∠C.求证：CD=AB+BD.【分析】在DC上截取DE=DB后显然△ADE≌△ADB，然后再证明AE＝EC就可以了.证明：在DC上截取DE=DB，连接AE，则△ADE≌△ADB.∴AE=AB，∠AEB=∠B，∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，ED=BD，∴∠AEB=2∠C.∴∠C=∠CAE，故CE=AE=AB.∴CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.5.作平行线构造全等三角形【例5】如下图所示，在△DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于点B、C，且BE=CF.求证：AB=AC.【分析】要证AB=AC，我们很自然想到过点B做CD的平行线，然后再证△AGB≌△AFC.条件DE=DF和BE=CF结合所作的平行线可得出BG＝CF，有了边的相等关系证△AGB≌△AFC就容易多了.证明：过B作BG∥CD交EF于G.∵BG∥CD，∴∠EGB=∠EFD.∵DE=DF，∴∠E=∠EFD，∴∠E=∠EGB，∴BE=BG.∵BE=CF，∴BG=CF.∵BG∥CD.∴∠GBA=∠ACF，∠AGB=∠AFC.在△AGB和△AFC中，∴△AGB≌△AFC.∴AB=AC.