1⑶糅合双参：①比值糅合:xt=4TX2eX2(eX1-X2一1)—n,设G(x)=——,xG(0,1〕,ln(1+x)x函数双变量问题处理技巧★双变量函数常用技巧:⑴分离双参：f(x)+ax>f(x)+axnF(x)=f(x)+axii一一⑵独立双参：主元法x含有lnx，例如：lnx—lnx=ln1；②差值糅合：t=x—xT'2x122含有ex，例如:【策略1】改变主元(又叫：反客为主)对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的x字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。【例1】已知f(x)=x2+mx-1>m在\m\<2时恒成立，求实数x的取值范围.【分析】从题面上看，本题的函数式f(x)是以x为主变量，但由于该题中的“恒”字是相对于变量m而言的，所以该题应把m当成主变量，而把变量x看成系数，我们称这种思想方法为改变"主元”思想。【解析】x2+mx一1>mom(x一1)+x2—1>0在|m|<2时恒成立，即关于m为自变量的一次函数h(m)=(x—1)m+x2—1在me［—2,2］时的函数值恒为非负值o仁小、门得h(2)>0x2一2x+1>0
1ox2+2x一3>0【例2】对任意nGN+恒有(1+-)2n+aG(1)=——1na<———1na<———2ln22ln2ln22【证明】令f(t)=2t2—2(ex+x)t+e2x+x+1=2(t—?[-1,1]总有|f(x1)—f(x2)|小于【策略2】指定主元有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决我们称这种思想方法为：指定主元。【例3】已知0)，mn0，由f'(x)=ex-m—丄=竺--—=(x+Dex—em〉0在xw［m,+3)上恒成立，f(x)在［m，+3)x+1emx+1(x+1)em上递增，f(x)=f(m)=0,于是，当00，即minen-m+ln(m+1)〉1+ln(n+1)。3例4】求证：e2x—21(ex+x)+x2+212+1n匚■。2ex+x、1/、1、弋)2+—(ex—x)2+1n_(ex—x)2+1，f正明^2^213—(ex—x)2+1n—即可。设g(x)=ex—xg'(x)=ex—1,令g'(x)>0得x>0,令g'(x)<0得x<0,^2^213故g(x)ng(0)=1—(ex—x)2+1n。22【策略3】化归为函数单调性问题【例5】已知a>b>e，试比较ab与ba的大小，并说明理由。【分析】要比较ab与ba的大小，两个数同时取对数，只要blna与alnb的大小即可，即比较lna与a^nb的大小即可。b【解析】构造函数f(x)=丄兰,xw(e,+3),f'(x)=_也込<0在(e,+3)上恒成立，..f(x)在xx2(e,+3)上单调递减，由a>b>e可得1),对Vx,x^w[—1,1],|f(x)—f(x?)]0,2x<0,.f'(x)<0,即f(x)在[—1,0]上递减；当xw[0,1]时，ax—1n0,3If(m)—f(n)|>4|m—nI，求实数a的取值范围。lna〉0,2x>0,.f'(x)>0即f(x)在[0,1]上递增，f(x)=f(0)=1；min-1-1f(x)=max{f(1),f(—1)}，又由f(1)—f(—1)=(a+1—lna)—(1+1+lna)=a2lna，构造函数maxaah(a)=a——一2lna,ae[1,+a)，h'(a)=1+—-—=片>0，二h(a)在[1,皿)上递增，又h(1)=0,aa2aa2.当a〉1时h(a)〉0，即f(1)>f(—1),f(x)=f(1)=a+1—lna，maxVx,xe[—1,1],lf(x)-f(x)l
