A、有一个实数B、有两个不相等的实数③X2-4X+2=O一兀二次方程一.根的判别式与求根公式对于一元二次方程ax2+bx+「c=0(aMO),用配方法可以将其变形为错误!未找到引用源。.①因为aMO,所以，4a2>0.于是一元二次方程ax2+bx+c=0(aM0)的根的情况可以由b2—4ac来判定，我们把b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aM0)的根的判别式，通常用符号“A”来表示.综上所述，，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aMO),有(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根—b+丫b2—4ac—b—Jb2—4acx='，x='12a22a；(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根x=x=—错误!未找到引用源。；12(3)当AV0时，方程没有实数根.【练习1】判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数).(1)x2-4=0；(2)x2+5x=0；(3)4X2+12x+9=0(4)x2—3x+3=0；(5)x2—ax—1=0；(6)x2—2x+a=0.【变式】方程X2—2^3kx+3k2=0的根的情况是C、有两个相等的实数根D、没有实数根★解一元二次方程的常用招式：分解因式(十字相乘)法、公式法和配方法【练习2】解下列方程：①3x2-11x+10=0②X2-5X-2=O1A、mV41C、mV4,且mM0、韦达定理1D、m>—4,且mM0lx—X1=（X-X）2112=（X+X）2一4xX1212【变式】•若关于X的方程mx2+(2m+l)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围()1B、m>—4若一元二次方程ax2+bx+c=0(aM0)有两个实数根错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则有错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。.所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2+bx+c=0(aM0)的两根分别是x,x，那么x+x=错误!未找到引用源。，x・x=错误!未找到引用源。.这121212一关系也被称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x，x是其两根，由韦达定理可知x+x=—p,x•x=q,121212★应用韦达定理的常用招式=（X+X）2一2XX1212,11X+X一+——二1②X1X2【练习3】•若X]和X2分别是一元二次方程2X2+5X—3=0的两根.(1)求|X]—x2|的值；(2)求错误!未找到引用源。的值；【变式】1.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是()A._3B.-2C・3D.62.已知关于x的方程x2+2(m—2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.3.___________________________________________________________________________关于x的方程x2+4x+m=0的两根为X],x2满足|X]—X2|=2,实数m的值为4•已知方程x2—3x—1=°的两根为&和x2,求(xi—3)(x2—3)的值.5•若关于x的一元二次方程x2—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.1.方程2X2—4X—6=0的根为2.已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为()A.4,_2B.一4,_2C・4,2D.一4,23.若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解,则a的取值范围是・4.方程2x2+2X—1=0的两根为x和x,则丨x—x|=.1212巩固练习、选择题1.关于X的一元二次方程（a—l）x2+x+|a|—l=0的一个根是0,则实数a的值为（）C.1D.—1或121贝y—的值为（）a2-1a2-aC.-1D.1A.—B.2已知a是方程x2+x-1=0的一个根,-1+*''5A.2-1±*''5B.2A.X2+130X—1400=0C.X2—130x—1400=0B.X2+65X—350=0D.X2—65X—350=0Ar0!x!l1J11fl111\1i80cm50cm111111ilkiixt13.若方程式（3x-c）-60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（）A.1B.8C.16D.614.已知关于兀的方程（m-2）心+2mx+m+3=0有实根，则m的取值范围是（）A.m丰2B.m<6且m丰2C.m<6D.m<65.如果是a、卩是方程2x2+3x=4的两个根，则a2+卩2的值为（）A.1B.17C.6.25D.0.256.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示•如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）7.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是（）A.0B.1C.2D.38.若关于x的一元二次方程X+腋+4妒-3=[]的两个实数根分别是和心,且满足起1十孟2=签1签2.则k的值为（）A.—1或B.—1C.D.不存在44、填空题9....
