八年级数学竞赛例题专题讲解17：等腰三角形的判定 含答案VIP专享VIP免费

专题17等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等.2．证明线段相等的方法：(1)当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等.善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB=7,AC=11，点M是BC的中点，AD是ZBAC的平分线，MF〃AD，则CF的长为.(全国初中数学竞赛试题)解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．【例2】如图，在△ABC中，ZB=2ZC,则AC与2AB之间的关系是（）A.AC>2ABB.AC=2ABC.ACW2ABD.ACV2AB山东省竞赛试题解题思路：如何条件ZB=2ZC，如何得到2AB,这是解本题的关键.【例3】两个全等的含30。，60。角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M,连结ME，MC,试判断AEMC的形状，并说明理由.（山东省中考试题）解题思路：从厶ADE竺ABAC出发，先确定AADB的形状，为判断AEMC的形状奠定基础.【例4】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,求证：AF=EF.（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明ZFAE=ZAEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.A【例5】如图，在等腰AABC中，AB=AC，ZA=20。，在边AB上取点D，使AD=BC,求ZBDC度数.（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口.如图1,以BC为边在AABC内作等边ABCO；如图②，以AC为边作等边AACE.（第2（第3（第4能力训练A级1.已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则ZBAC=.2.如图，在RtAABC中，ZC=90o,ZABC=66。，△ABC以点C为中点旋转到△A'B'C的位置，顶点B在斜边A矽上,A'C与AB相交于D,则ZBDC=.3.如图，△ABC是边长为6的等边三角形,DE丄BC于E,EF丄AC于F,FD丄AB于D,则AD=（天津市竞赛试题）4.如图，一个六边形的六个内角都是120°，其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是cm.（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，△ABC中，AB=AC,ZB=36°,D、E是BC上两点，使ZADE=ZAED=2ZBAD,则图中等腰三角形共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个6.若厶ABC的三边长是a，b,c,且满足a4=b4+c4-b2c,b4=a4+c4-a2c2,c4=a4+b4-a2b2，贝y△ABC（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于（AA9A．30B.300或1500C.1200或1500D.300或1200或1500A.2个B.4个C.6个D.8个（江苏省竞赛试第题图“希望杯”邀请赛试题）8.如图，已知RtAABC中，ZC=900,ZA=300,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）9.如图在等腰Rt^ABC中，ZACB=900,D为BC中点，DEIAB,垂足为E,过点B作BFHAC交DE的延长线于点F,连接CF交AD于G.⑴求证：AD丄CF；⑵连结AF,度判断AACF的形状，并说明理由.10.如图，△ABC中，AD丄BC于D,ZB=2ZC，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）11.如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D,使得ACDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ACMN是等边三角形.江苏省竞赛试题）B12.如图1,RtAABC中，ZACB=9O0,CD丄AB,垂足为D,AF平分ZCAB，交CD于点E,交CB于点F.⑴求证：CE=CF；⑵将图1中的AADE沿AB向右平移到AADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.山西省中考试题）B级1.如图，AABC中，AD平分ZBAC,AB+BD=AC,则ZB：ZC的值=（第1题）（第2题）2.如图，AABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,若...