勾股定理的测量问题例4.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，他想了想，求出了旗杆的高度，你知道他是怎样算出来的吗？分析：由题意可知绳子比旗杆多1米，把下端拉开5米后，下端刚好接触地面，如图，这时旗杆AB，绳子AC，旗杆底点B与绳接触地面的点C所连结的线段BC构成直角三角形。解：设旗杆AB＝x米，则绳长AC＝（x＋1）米在RtΔABC中，由勾股定理可知：222BCABAC即2225)1(xx解得12x（米）答：旗杆的高度为12米。例5.有一圆柱形油罐，如图，以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米？（已知油灌的周长为12m，高AB是5m）分析：本题直接解答困难，若把图的侧面展开，所求梯子最短距离就变为在''BAARt中斜边'AB的长可通过利用勾股定理求得。解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平，则B'B'AA为长方形，则mBAAB5''，mBBAA12''，因此沿AB'建梯子则最省材料，梯子最短。在''BAARt中)(13512''''2222mBAAAAB答：梯子最短需13m。例6.如图，在ΔABC中，∠C＝30°，∠BAC＝105°，AD⊥BC，垂足为D，AC＝2cm，求BC的长。解析： 在ΔABC中，AD⊥BC∴ΔADC为RtΔ ∠C＝30°ACAD21 AC＝2∴AD＝14560105DACBACBAD60DAC105BAC312ADACDC2222，即RtΔABD为等腰三角形∴BD＝AD＝1∴BC＝DB＋DC＝（1＋3）（cm）例7.如图，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC于D，求AD的长。分析：无论把AD放在直角ΔADC还是在直角ΔADB中，都不易直接利用勾股定理计算AD，必须先求出CD的长才能解决问题，需求CD的长，可设CD＝x，设法找到关于x的方程，通过解方程的方法求出未知的CD长，题中的AD可作为解题的桥梁，列出方程。解：设CD＝x，在直角三角形ADC中2222210xCDACAD在直角ΔABD中222222222)9(1710)9(17xxxBDABAD解得6x例8.如图分别以直角三角形的三边为边长向外作正三角形，试探索三个正三角形面积间的关系。分析：首先应探索出正三角形的面积与正三角形的边长之间的关系，然后可设出直角ΔABC的各边长，分别计算SI、SII、SIII，再进行比较。一、填空题861022AD1.在RtΔABC中，∠C＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝________。2.在直角三角形中有两边的长为3和4，则第三边的长为________。3.如图1，在直角梯形ABCD中，已知底AD＝6cm，BC＝11cm，腰CD＝12cm，则直角梯形的周长为________。图14.直角三角形的周长为62，斜边的长为2，则此三角形面积为________。5.若222543，则将等式两边乘以3得27、48、75为边的三角形________（①不是直角三角形，②是直角三角形）6.一个等腰三角形周长是16cm，底边上的高是4cm，则三角形各边长为________。7.若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为________。8.如果一个直角三角形的三边为三个连续的整数，则它的面积为________。9.若直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则斜边扩大________倍。10.正方形的面积为236cm，是其对角线长为________cm。二、选择题1.等腰直角三角形斜边为10，则其直角边为（）A.25B.34C.52D.322.矩形的周长为20m，宽为2m，则对角线长为（）A.m35B.m112C.m172D.m1323.ΔABC中，若∠A:∠B:∠C＝1：2：3，则BC：AC：AB的值为（）A.3:2:1B.3:2:1C.2:1:3D.2:3:14.直角三角形两直角边的长分别为5，12，则斜边上的高为（）A.6B.8C.1380D.13605.已知在ΔABC中，a＝3，633cb，，则∠A，∠B分别为（）A.60°，30°B.30°，60°C.70°，60°D.60°，90°6.在RtΔABC中，∠C＝90°，已知104:3:cba，，则ΔABC面积为（）A.24B.12C.28D.307.三角形三边的长分别为a、b、c，且0)()(22222cbaba，则三角形的形状为（）A.任意等腰三角形B.任意直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8.一直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.129.已知一个直角三角形的周长为30cm，面积为30cm2，那么这个直角三角形的斜边长为（）A.15B.14C.13D.1210.ΔABC的三边长分...
