一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系一、知识要点：1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有的实数根；方程有的实数根；方程无实数根。2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。（2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。二、典例精析：一元二次方程根的判别式[基础知识]例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6mx+2=0的根的情况。[跟踪练习]1、不解方程判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0（2）3x2+x+5=0（4）7x2+(m+5)x+m-6=0例2、若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。[跟踪练习]已知关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据下列条件求实数m的取值范围：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）有两个实数根；（4）没有实数根；（5）有实数根。[拓展研究]例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。[跟踪练习]已知关于x的方程有两个不相等的实数根。（1）求m的取值范围；（2）化简。例4、已知a、b、c分别为△ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当∠B=90o时试判断△ABC的形状。例5、已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必定有两个不相等的实数根。同步练习：（中考链接）1、（2009上海金山）下列一元二次方程没有实数解的是（）A、x2-2x-1=0B、(x-1)(x-3)=0C、x2-2=0D、x2+x+1=02、（2008四川）已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（）A、-2B、-1C、0D、13、（2009北京石景山）若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，则a的值是。4、（2008天津）已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是。5、（2008浙江宁波）已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。一元二次方程根与系数的关系例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值。（1）x1+x2（2）x1x2（3）x12+x22（4）（5）|x1-x2|[跟踪练习]若方程2x2-2x-1=0的两根为α、β，不解方程，求①α+β=，②αβ=，③α2+β2=，④=，⑤（α-1）（β-1）=。例2、已知方程2x2+kx-8=0的一个根是，求另一个根及k的值。[跟踪练习]已知一元二次方程x2+4x-m=0的一个根为，则另一个根是，且m=。例3、已知关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于，求m的值。[跟踪练习]1、（2007重庆市）已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为α、β，满足，求m的值。2、已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。例4、已知一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。[跟踪练习]已知一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。例5、（2006青岛市）已知α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，则αβ+α+β的值为。同步练习：1、（2009兰州）若x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值为。2、（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，则实数k的值是。3、（2007锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，则（α-1）（β-1）的值等于。4、已知是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是。5、若方程组的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程是。6、已知一元二次方程x2-2x+m-1=0。（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值。
