第1页（共13页）2013年湖南师大附中理实班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题：每小题4分，共32分．1．（4分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果做了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差2．（4分）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元3．（4分）如图所示，是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个4．（4分）如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC＝∠BCA，AC＝6，DB＝5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．SB．SC．SD．S5．（4分）如图所示，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积是（）第2页（共13页）A．B．C．D．6．（4分）若关于x的不等式组有解，则函数y＝（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0B．1C．2D．1或27．（4分）若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是二次函数y＝ax2+bx+c（abc≠0）的图象上的两点，且y1＝y2，则当x＝x1+x2时，y的值为（）A．0B．cC．﹣D．8．（4分）如图所示，A是半径为1的⊙O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）A．B．C．D．二、填空题：每小题4分，共32分．9．（4分）计算：（a+b）÷•＝．10．（4分）已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1＝0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为．11．（4分）如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么这两条对角线的夹角是．第3页（共13页）12．（4分）某班级共48人，春游时到湖州太湖山庄划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金元．13．（4分）甲去上海进货，乙去广州进货，结果同样的衬衫共100件，都以每件a元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元．若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也都以每件a元的价格卖出，两个人赚钱一样多，则甲进件衬衫．14．（4分）以边长为7，24，25的三角形的最大角的顶点为圆心，画一个与最长边相切的圆，则圆的半径长为．15．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+13a有最小值﹣24，则a＝．16．（4分）方程的解是．三、解答题：每小题12分，共36分．17．（12分）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元？18．（12分）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0， △＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝．∴满足要求的矩形B存在．第4页（共13页）（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：①这个图象所研究的矩形A的两边长为和；②满足条件的矩形B的两边长为和．19．（12分）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°...
