共线向量定理的推论的推广及其应用VIP专享VIP免费

共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景向量知识成高考的热点。在高二下册B版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。一、推论的叙述及变式。如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式：在l上取，则（1）式可化为因为∴由（2）式可看出等号的左边向量的系数1刚好等于右边的向量与的系数之和1-t+t，由推论易知此时A、B、P三点同在一条直线上。O为直线外一点，即P为△OAB边AB上的点，线段OB、OP、OA是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。线段OP刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。图（一）BPAOa二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论：结论一：在△ABC中，D为BC边上的点，如果，则以A点为起点的三个向量的中间一个向量=。证明：即可证明。结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。结论三：在结论一中如果点D不在边BC，是在三角形ABC的内部或外部，在图（三）中，，则，在图（四）中，则，证明先找到AD与BC的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理进行转化。三、应用举例图（二）BxDyCA图（三）BECAD图（四）BECAD例1、（2010年全国卷二）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，则=（）A、B、C、D、分析：本题就是考查共线向量定理推论的一道典型题目，只要画出图，应用上面的结论一，便可解之，迅速得出正确答案。由题目可知，A、D、B三点共线，满足推论，所以左边系数之和等于右系数之和，向量系数为1，所以排出C、D答案。解析：如图由角平分线性质定理知：即技巧点拨：本题应用了两个重要的知识点，一、共线向量定理的推论，即：，二、角平分线的性质定理，即△ABC中，D在AB上，如果CD平分∠ACB，则.例2：（2010年湖北卷）已知△ABC和点M满足，若存在实数m使得成立，则m=A、2B、3C、4D、5分析：此题最易犯错选择A答案。应用左边系数之和等于右边系数之和的条件是：三点要共线，但此题的B、C、M三点不共线，因此不能选择A答案，但我们可以延长AM与BC相ADBC交，找到交点，从而出现三点共线，从而迅速解决问题。解析：如图，由知M为△ABC的重心，延长AM交BC于D，易知D为BC中点，因B、D、C共线。所以由重心性质知所以所以选B答案。例3、（2009年湖南卷）如图，两块斜边长相等的直角三角板，拼在一起，若，则x=，y=分析：因B、C、D三点不共线所以不能直接使用共线定理的推论，延长CA与DB相交于C1点便可解之。解析：延长CA与DB相交于C1点，不妨设AC=AB=，则CB=2=DE因为∠DEB=60°∴BE=1，DB=由平面几何知识可知，AC1=AC=,C1B=2∴又因DCABMCAC1BDE60°45°6060化简得：例4：已知等差数列的前n项和为，若且A、B、C三点共线，（该直线不过点O），则=（）A、100B、101C、200D、201解析：由结论二知，，选择A