【精品】高一数学 3.3等差数列的前n项和（备课资料） 大纲人教版必修VIP免费

●备课资料一、参考例题［例1］在等差数列{an}中，（1）已知a2+a5+a12+a15=36,求S16（2）已知a6=20,求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1,a16,d,但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1+a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1+a11,即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6,从而问题获解.解：（1） a2+a15=a5+a12=a1+a16=18,∴S16=2)(16161aa=8×18=144.（2） a1+a11=2a6,∴S11=2)(11111aa=11a6=11×20=220.［例2］有一项数为2n+1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.分析一：利用Sn=na1+2)1(nnd解题.解法一：设该数列的首项为a1,公差为d,奇数项为a1,a1+2d,…其和为S1，共n+1项；偶数项为a1+d,a1+3d,a1+5d,…,其和为S2，共n项.∴dnndandnnanSS2)1(21)(2]1)1)[(1(21)1(1121=nn1.分析二：利用Sn=2)(1naan解题.解法二：由解法一知：S1=2))(1(121naan，2)(222naanS a1+a2n+1=a2+a2n,∴nnSS121［例3］若两个等差数列的前n项和之比是（7n+1）∶(4n+27),试求它们的第11项之比.分析一：利用性质m+n=p+qam+an=ap+aq解题.解法一：设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1则：a11=2211aa,b11=2211bb,∴)(21)(212112111111bbaaba=21)(2121)(21211211bbaa=342721412172121TS.分析二：利用等差数列前n项和Sn=An2+Bn解题.解法二：由题设，令Sn=(7n+1)·nk,Tn=(4n+27)·nk由an=Sn－Sn－1=k(14n－6),得a11=148k,n≥2bn=Tn－Tn－1=k(8n－23),得b11=111k,n≥2,∴341111481111kkba.评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则：（1）1212nnnnTSba;(2)12121212nmnmTSmnba.［例4］等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.30B.170C.210D.260答案：C分析一：把问题特殊化，即命m=1来解.解法一：取m=1,则a1=S1=30,a2=S2－S1=70，∴d=a2－a1=40,a3=a2+d=70+40=110,S3=a1+a2+a3=210分析二：利用等差数列的前n项和公式Sn=na1+2)1(nnd进行求解.解法二：由已知，得：1002)12(22302)1(121dmmmaSdmmmaSmm解得a1=2240,2010mdmm∴S2m=3ma1+2)13(3mmd=210.分析三：借助等差数列的前n项和公式Sn=2)(1naan及性质m+n=p+qam+an=ap+aq求解.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2解法三：由已知，得：mmmmmmmmaaaaSaamaamaam2233312112)(3100)(60)(由③－②及②－①结合④,得S3m=210.分析四：根据性质“已知{an}成等差数列，则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n,…(k≥2)成等差数列”解题.解法四：根据上述性质，知Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列.故Sm+(S3m－S2m)=2(S2m－Sm),∴S3m=3(S2m－Sm)=210.分析五：根据Sn=an2+bn求解.解法五： {an}为等差数列，∴设Sn=a·n2+b·n,∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100得a=220m,b=m10,∴S3m=9m2a+3mb=210.分析六：运用等差数列求和公式，Sn=na1+2)1(nnd的变形式解题.解法六：由Sn=na1+2)1(nnd,即2)1(1dnanSn由此可知数列{nSn}也成等差数列，也即mSmSmSmmm3,2,32成等差数列.由mSmSmSmmm3223Sm=30,S2m=100,∴S3m=210.评述：一般地，对于等差数列{am}中，有qpSqpSSqpqp(p≠q).[例5]在a,b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质.解法一：设插入的10个数依次为x1,x2,x3,…,x10,则a,x1,x2,…,x10,b成等差数列.令S=x1+x2+x3+…+x10,需求出首项x1和公差d. b=a12=a1+11d,∴d=111011,111baabaxab∴S=10x1+2910d=10·1110ba+2910·11ab=5(a+b)解法二：设法同上，但不求d.依x1+x10=a+b网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网3①②③④∴S=2)(10101xx=5(a+b)解法三：设法同上，正难则反∴S=...