二次函数问题一、知识回顾二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延．作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征．从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法．如：二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：零点式：存在零点，则有二、例题精讲例1.若函数是偶函数，则函数的最小值为．解： 二次函数是偶函数，∴其图像关于轴对称．∴．∴函数的最小值为．练习1.若二次函数的图像的对称轴是轴，则实数的值是．解：由已知解得．例2.已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是.解：由2()2(2)88fxfxxx得2(2)2()(2)8(2)8fxfxxx，即22()(2)44fxfxxx，∴2()fxx∴，∴切线方程为12(1)yx，即练习2.设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线用心爱心专心1()yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为．解：由已知(1)2g，而()()2fxgxx，∴(1)(1)214fg例3.若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是．解：由已知对一切实数恒成立．（1）当时，满足题意；（2）当时，只须解得．由（1）、（2）得．练习3.若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是．解：由已知对一切实数恒成立．（1）当时，满足题意；（2）当时，只须．解得．由（1）、（2）得．例4.已知二次函数和函数，（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不等的实根，求证：函数在上是单调函数.解：（1） 为偶函数,∴,，即,∴.∴. 的定义域为,且,∴函数为奇函数.（2）由,得，由△，且,得,即∴函数在上是单调函数.用心爱心专心2练习4.已知二次函数的图像过点，且得解集为．（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数在上的最值．解：由已知设二次函数，其中．将点带入，解得．∴．（1），要使在区间上单调递增，只须，解得；（2）由，得． ，∴．∴．∴函数在上的最大值为0，最小值为．例5.设为实数,记函数的最大值为,求.解:(1)若,则,∴.(2)若,则,①当时，由知在上单调递增，∴；②当时，若，即，则，若，即，则，若，即，则.用心爱心专心3综上所述：=.思考：设为实数，记函数的最大值为，求.分析:令，则，∴. 函数的定义域为,∴.∴，.由题意知即为函数，的最大值，化归为例2求解.或由函数的定义域为，可令，，则，又令，则，∴，练习5.设为实数，函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）求的最小值．解：（1）若(0)1f，则20||111aaaaa（2）当xa时，22()32,fxxaxa22min(),02,0()2(),0,033faaaafxaafaa当xa时，22()2,fxxaxa2min2(),02,0()(),02,0faaaafxfaaaa综上22min2,0()2,03aafxaa例6.已知二次函数)(xgy的导函数的图像与直线2yx平行,且)(xgy在x=－1处取得最小值m－用心爱心专心41(m0).设函数xxgxf)()((1)若曲线)(xfy上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值；(2))(Rkk如何取值时,函数kxxfy)(存在零点,并求出零点.解：（1）设2gxaxbxc，则2gxaxb；又gx的图像与直线2yx平行，22a．即1a．又gx在1x取最小值，∴12b，即2b．1121gabccm，cm；∴2gxmfxxxx．设，则．∴，解得或；21世纪教育网（2）由120...
