第2课时直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行重合相交(垂直)2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．例1.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.解（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=--3,l2:y=-(a+1),l1∥l2，解得a=-1,用心爱心专心1典型例题基础过关综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,∴l1∥l2a=-1,故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.（2）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a≠1时，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由·=-1a=.方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.（4）当－=－且5=时，即a=2且b=10或a=－2且b=－10时，两直线重合例2.已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为，求直线l的方程．解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l3的斜率为k3＝，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在.设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．用心爱心专心2则tan＝＝＝1k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？解如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.设点P的坐标为（x,y），则P（x,）(x＞200).由经过两点的直线的斜率公式kPC=,kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得tan∠BPC==(x＞200).用心爱心专心3要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式x+-288≥2-288,当且仅当x=时上式取得等号.故当x=320时，tan∠BPC最大.这时，点P的纵坐标y为y==60.由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.例3.直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4,2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1，y1)则得即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0又由解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a=-2。（2）若l1∥l2，则-1=-，a=1。（3）若l1∥l3，则-1=-a，a=1。（4）若l2∥l3，则-=-a，a=±1。）例4.设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使为最小，并求出这个最小值．解：设点A关于直线l的对称点A'的坐标为(a，b)，则由AA´⊥l和AA´被l平分，则解之得a＝3，b＝－3，∴A´＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A´B|＝5用心爱心专心4 kA´B＝＝－18∴A´B的方程为y＋3＝－18(x－3)解方...
