圆锥曲线复习讲义（2）双曲线一．复习目标：1．正确理解双曲线的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出双曲线的标准方程；2．掌握双曲线的几何性质，能利用双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程；3．掌握直线与双曲线位置关系的判定方法，能解决直线与双曲线相交的有关问题.二．基础训练：1．实半轴为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的方程为.2．焦点在轴上的双曲线过点，且与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为.3．过点且与圆：外切的圆的圆心轨迹方程是（x≥3）.4．方程表示双曲线，则的取值范围是（A）（A）－1＜k＜1（B）k＞0（C）k≥0（D）k＞1或k＜－15．已知双曲线上有一点到左焦点的距离为，那么点到右焦点的距离为（D）（A）2（B）22（C）7或17（D）2或226.椭圆与双曲线有公共焦点，，是两曲线的交点，则△的面积=.+=2m=m+n解:不妨设点P在第一象限-=2n解得=m-n+===，∴∠=.又,，∴===1.7．经过点，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程是.三．例题分析：例1．直线与双曲线有两个交点，求实数的取值范围.解：y=kx－1消去y，得(4－9k2)x2+18kx－45=04x2－9y2=364－9k2≠0由条件得：△=(18k)2－4·(－45)(4－9k2)＞0∴k的取值范围是.反思:解题过程中,△=(18k)2－4·(－45)(4－9k2)＞0,应提取36后再解,而不能直接死算.例2．已知双曲线的左右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使是到的距离与的比例中项？解：∵c2=a2+b2=25+144=169,∴c=13e=.假设双曲线左支上有一点P，使得|PF1|2=d·|PF2|则……①又∵|PF2|-|PF1|=2a=10……②解①②得|PF1|=|PF2|=∴|PF1|+|PF2|=而|F1F2|=2c=26，从而|PF1|+|PF2|＜|F1F2|这与|PF1|+|PF2|≥|F1F2|矛盾，∴符合条件的P点不存在.反思:本题也可以联立方程组消元后,用法求解.例3.已知双曲线的焦点在轴上，且过点和，是双曲线上异于、的任一点，如果的垂心总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.解:设P（，），∵PH⊥AB，由对称性知，H（，-）∴，∴.设双曲线的方程为，将A（1，0）代入得a=1，故双曲线方程为，将P点坐标代入，得，∴，即恒成立，∴=1，∴所求双曲线方程为.四．课后作业：1．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数.提示:4-=+2，a=±1.2．平面内有两个定点、和一动点，设命题甲：是定值；命题乙：点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）既不充分也不必要条件提示:∵|MF1|-|MF2|=2（定值），必须是2＜|F1F2|时点M的轨迹才是双曲线，∴选（B）.3．如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率为（）（A）（B）（C）（D）提示:由，，得，∴，∴选（D）.4．已知双曲线，离心率，则的取值范围是（）（A）（-12,0）（B）（-∞,0）（C）（-3,0）（D）（-60,-12）提示:∵2=4，b2=-m,∴，由1＜＜2,解得m(-12,0)，∴选（A）.5．．以为渐近线，且经过点的双曲线方程是________________.提示:设双曲线方程为4x2-9y2=k,将点(1,2)代入得，k=-32，∴所求方程是4x2-9y2+32=0.6．以椭圆的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是.提示由题意，，，∴所求的方程为.7．双曲线的离心率，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是———。提示由，即c=2a，得，故所求的比为3：1.8．双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，求△的面积.解:已知双曲线方程可化为，则a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，=6，又=2c=10，所以在△中，由余弦定理，得=.因此，=.9．如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，且，，求该双曲线的方程.解:由题意知，，，∴，∴b2=3，从而a2=9，故所求方程为.10.直线：与以坐标轴为对称轴的双曲线交于、两点，点与、构成以为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程.解:A、B为以P为圆心|PA|为半径的圆与的交点.P到的距离，|PA|=，∴圆的方程为（x－5）2+(y－14)2=148.5x－7y－1=0x=3x=17由得(x－5)2+(y－14)2=148y=2y=12所以A（3，2），B（17，12）.设所求双曲线方程为mx2+ny2=1（mn＜0），将A、B两点坐标代入方程求得m=1,n=－2，∴所求双曲线方程为x2－2y2=1.
