第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．解(1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.解得x＝2或x＝.由题意得xB＝，从而yB＝.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有FH＝(－1，yH)，BF＝.由BF⊥HF，得BF·FH＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.在△MAO中，由∠MOA≤∠MAO，得MA≤MO，即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简，得xM≥1，即≥1，解得k≤－或k≥.所以直线l的斜率的取值范围为∪.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1,2＝，所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．(2)解由(1)可知所以PM＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.所以△PAB的面积S△PAB＝PM·|y1－y2|＝.因为x＋＝1(－1≤x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是.题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF·BF的最小值是________．答案4解析设直线AB的倾斜角为θ，可得AF＝，BF＝，则AF·BF＝×＝≥4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．答案解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．解(1)由题意，得a－c＝b，则(a－c)2＝b2，结合b2＝a2－c2，得(a－c)2＝(a2－c2)，即2c2－3ac＋a2＝0，亦即2e2－3e＋1＝0，结合00.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2＝，所以x1＋x2＝－，因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，所以线段AB的中点N的坐标为，因为点N在直线y＝x上，所以－＝2×，解得k＝－.所以Δ＝48(12－m2)>0，解得－2
