第4讲直接证明与间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．证题的三种思路(1)综合法证题的一般思路用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．(2)分析法证题的一般思路分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．(3)反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．(教材习题改编)设m＝1＋，n＝2，则m与n的大小关系是()A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n解析：选C.法一：m2－n2＝(1＋)2－(2)2＝4＋2－8＝2－4＝－＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故选C.法二：假设m≥n，即1＋≥2.则有(1＋)2≥(2)2，即4＋2≥8，即2≥4，即≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，故选C.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．答案：三角形三个内角都大于60°在不等边三角形中，a为最大边，要想得到边a的对角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cosA＝<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c2综合法[典例引领]如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1.(2)求证：A1B∥平面ADC1.【证明】(1)因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1，因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点，因为D为BC的中点，所以OD∥A1B，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.综合法的证题思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2B－sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B...
