第五章平面向量复数知识结构网络向量运算几何运算代数运算复数运算复数概念数系扩充复数平移定比分点坐标表示几何表示向量应用向量表示向量概念平面向量5.1平面向量的概念与运算一.明确复习目标1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法3掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件二．建构知识网络1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:…或…等；向量的长度即向量的模记作||。(2)零向量：其方向：(3)单位向量：单位向量不唯一.(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反.规定：与任意向量平行。(5)相等向量：长度相等且方向相同.2.向量加法:设，(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法则”或“三角形法则”进行。如图+==。或+=规定：；(2)向量加法满足交换律与结合律；3.向量的减法（1）相反向量：关于相反向量有：①=；②+()=()+=；③若、是互为相反向量，则=,=,+=。DCBA（2）向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。如上图表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。(3)温馨提示：①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。②三角形法则的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零.差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4.实数与向量的积(1)实数λ与向量的积：①是个向量;②模等于③方向λ>0时与同向,λ<0时与反向.(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5.向量共线定理：向量与非零向量共线怎样判定向量共线——(1)共线向量定理；(2)依定义;(3)用几何方法.6.平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.三、双基题目练练手1．(2006广东)已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量（）A.BC.D.2．（2005山东）已知向量，且则一定共线的()A.Ａ、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D3．（2006江西）已知等差数列的前项和为,若,且、、三点共线(该直线不过点),则等于（）A.100B.101C.200D.2014．设为非零向量，则下列命题中,真命题的个数是______①与有相等的模；②与的方向相同；③与的夹角为锐角；④且方向相反．5.(2006安徽)在平行四边形ABCD中,,,,M为BC的中点,则=__________（用表示）6.设向量、不共线，=k+，=+k(kR)，若∥，则k=___7.(2006湖南)如图,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是________;当时,的取值范围是__________.答案:1-3.AAA；4.2;5.找封闭折线,得;6.=λ(λR)…;法2.仿坐标表示:k2-1=0…;7.(),.提示:作PC//OB,交AO延长线于点C,可知x<0.当时,PC//AB,设PC交OM于D,交AB延长线于E,P必在DE之间,可知.四、经典例题做一做【例1】如图,在梯形ABCD中,G为对角线AC、BD的交点，E、PBAOMF分别是腰AD、BC的中点，求向量。解：（1） E,F分别是两腰的中点，∴,又，，两式相加得；（2）设，，由得：∴,◆提炼方法：1.用好“封闭折线的向量和等于零向量”;2.由共线求交点的方法:待定系数λ,μ.【例2】设不共线，求证：点P、A、B共线的充要条件是：。证明：充分性：∴A、P、B共线。必要性：A、P、B共线，则有必要性成立。特例：当时，，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。◆提炼方法1.利用向量证明三点共线的方法：(1)证明有公共点的的两个向量平行,则这两个向量的四个(三个)端点共线；GFEDCBA图1(2)利用本题的结论.2.证向量平行的方法:(1)共线向量定理；(2)依定义;(3)用几何方法.【例3】已知G是△ABC的重心，O是外心,H是垂心,P是平面ABC内任意一点,求证：(1);(2);(3);(4)点O、G、H三点共线。证明：(1)以向量为邻边作平行四边形GBEC，则，又G为△ABC的重心知，从而，∴。（2）如图1易知，，；三式相加得（3）作辅助线如图2,DA⊥AC,DB⊥BC,∴DA//BH,DB//AH在ADBH中,,∴(4)在(2)中取P为O,得∴,点O、G、H共线。◆提炼方法：1.明确解题目标,用好加法的两个法则、几何图形和向...
