《高中数学研究性学习案例》77844840-f6ad-4103-a130-1f372706445b.doc与推广王跃进2004年全国高考数学试卷（湖北卷）中的一道填空题为：将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种．（04年全国高考．湖北卷）答案为240．对该问题进行研究和推广，我们可提出以下三个一般性的问题：将标号为1,2,…,n的个球放入标号为1,2,…,n的n个盒子内，每个盒内放一个球，如果标号为k（1≤k≤n）的球恰好放入与其标号不一致（一致）的盒内，我们就称该球错位（相合），问：用心爱心专心77844840-f6ad-4103-a130-1f372706445b.doc探究1恰好有r个球错位（简称r-错位）的放入方法有多少种（记为）？⑴探究2恰好有m个球相合（简称m-相合）的放入方法有多少种（记为）？⑵探究3至少有m个球相合的放入方法有多少种（记为）？⑶下面的定理回答了上述三个问题并给出了其计数公式，从这些结果可以使我们更全面、更深入地了解中学数学有关问题的一般情形及其理论背景．引理将标号为1,2,…,n的n个球放入标号为1,2,…,n的n个盒子内，每个盒内放一个球，则至少有一个球相合的放球方法种数、n个球均错位的放球方法种数分别为=（1）=（2）引理的证明在一般组合数学著作中都可查到，这里略去．第2页共6页77844840-f6ad-4103-a130-1f372706445b.doc例1同室四个人每人写一张贺年卡，将这四张卡片收回再分发给这四人，每人一张，则每人都分不到自已写的贺年卡的分卡方法共有种．（1993年全国高考题）解在引理中令n=4，得所求的分卡方法有种．定理-错位种数、m-相合种数、至少有个球相合的放球方法种数分别为==（3）==（4）==（5）证明先证(3)式：从n个球中选取r球，有种方法；对于取定的r球，使这r个球错位、其余n－r个球相合的放第3页共6页77844840-f6ad-4103-a130-1f372706445b.doc球方法，由引理，有=种，由乘法原理得=×，代入即得（3）式．再证（4）式：因为恰好有个球相合等价于恰有个球错位，故=，在（3）式中取r=n－m即得（4）式．（5）式的证明：对m用数学归纳法．m＝１时，由引理中(1)式得===故当m=1时，（5）式成立．假设（5）式对成立，即=（6）则对m，将(4)、(6)式代入显然成立的等式左端，得=－第4页共6页77844840-f6ad-4103-a130-1f372706445b.doc=－==故（5）式对m=1，2，…，n均成立．证毕．例2将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内，每个盒内放一个球，求：（1）恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放球方法种数；（2）恰好有4个球的标号与其所在盒子的标号一致的放球方法种数；（3）至少有5个球的标号与其所在盒子的标号一致的放球方法种数．解限于篇幅仅给出直接用定理的解法．（1）在定理的（3）式中取n=10，r=3，即得所求的放球方法有=.240种．（２）在定理的（4）式中取n=10，ｍ=４，即得所求的放球方法有=.第5页共6页77844840-f6ad-4103-a130-1f372706445b.doc55650种．（3）在定理的（5）式中取n=10，m=5，即得所求的放球方法有=13264种．例3将1，2，…，9共9个整数作排列，求至少有６个数字与其排列位置一致的排列种数．解法一所求排列可分为恰有6个、7个、8个、9个数字与其排列位置一致的4类，这4类分别有=168、=36、=0、=1种，相加得所求排列共有168+36+1=205种．解法二(5)式中取n=9，m=6，得所求结果为==205．第6页共6页
