第二节二项式定理突破点一二项式的通项公式及应用1．二项式定理二项展开式公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理二项式的通项Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项2.二项式系数与项的系数二项式系数二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．()(3)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空题1.10的展开式中x2的系数等于________．答案：452．在6的展开式中，常数项为________．答案：2403.8的展开式中的有理项共有________项．答案：3考法一形如(a＋b)n的展开式问题[例1](1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80(2)(2019·陕西黄陵中学月考)6的展开式中常数项为()A.B．160C．－D．－160[解析](1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.(2)6的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－rr＝rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以展开式中的常数项是T4＝3C＝，选A.[答案](1)C(2)A1[方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．考法二形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题[例2](1)(2018·广东一模)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数为()A．120B．160C．100D．80(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168[解析](1)(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋(1＋2x)5， x(1＋2x)5的展开式中含x3的项为x·C(2x)2＝40x3，(1＋2x)5的展开式中含x3的项为·C(2x)4＝80x3，∴x3的系数为40＋80＝120.故选A.(2)根据(1＋x)8和(1＋y)4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为CC＝168.故选D.[答案](1)A(2)D[方法技巧]求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．考法三形如(a＋b＋c)n的展开式问题[例3](1)(2019·枣阳模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60(2)(2019·太原模拟)5的展开式中常数项是________．[解析](1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.(2)由5＝5，则其通项公式为(－1)5－rCr(0≤r≤5)，其中r的通项公式为2r－tCxr－2t(0≤t≤r)．令r－2t＝0，得或或所以5的展开式中的常数项为(－1)5C＋(－1)3C×2C＋(－1)1C×22C＝－161.[答案](1)C(2)－1612三项展开式问题的破解技巧破解(a＋b＋c)n的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．1.(＋)100的展开式中，无理数项的个数是()A．84B．85C．86D．87解析：选A(＋)100展开式的通项为Tr＋1＝C()100－r·()r＝C250－×3，r＝0,1,2，…，100，所以当r是6的倍数时，Tr＋1为有理项，所以r＝0,6,12，…，96，共17项，因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A.2.(x2－2)5的展开式中x－1的系数为()A．60B．50C．40D．20解析：选A由通项公式得展开式中x－1的系数为23C－22C＝60.3.(x＋y)(2x－y)6的...
