定积分的概念VIP免费

1.5.3定积分的概念;1limlim110ininniixfnxfS曲边梯形面积.1limlim110ininniitvntvS变速运动的路程这两类问题都归结为求下面这种特定形式的极限baininiiIiiniidxxfbaxfnfnabxfnixxnbabxxxxxabaxf)(,],[)(,,,,,2,1,,,,,111110记作：上的定积分在区间叫函数常数，这个常数上述和式无限接近某个时当作和式任取一点上在每个小区间个小区间等分成将区间用分点上连续在区间如果函数)()(1liminibanfnabdxxf即：定积分的定义被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限定积分的定义)()(1liminibanfnabdxxf即：思考：为常数还是变量，它的值与哪些量有关？badxxf)(当f(x)<0时呢？定积分的几何意义当f(x)≥0，定积分badxxf)(的几何意义就是曲线y=f(x)直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积bAoxyay=f(x)S上的连续函数为区间],[)(baxf的几何意义？如dxx102的几何意义？即：21102)1(1limnindxxninO2xyyx21,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的相反数定积分的几何意义当函数f(x)<0，x[a,b]时定积分badxxf)(Sdxxfba)(就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数.即oxyaby=f(x)Sabyf(x)Oxy()ygx例1.根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中蓝色阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx练习.用定积分表示图中四个阴影部分面积0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④规定：性质1：;0)(badxxfba时，当.)()()]()([bababadxxgdxxfdxxgxf性质2：.)()(babadxxfkdxxkf性质3：.)()()(cabcbadxxfdxxfdxxf性质4：.1babaabdxdx定积分的性质1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfbaab例2dxx1021计算积分利用定积分的几何意义义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以例3.利用定积分的定义,计算的值130xdx探究点一定积分的概念明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例1利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值．ba解令f(x)＝x3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为i－1n，inΔx＝in－i－1n＝1n.探究点一定积分的概念明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)近似代替、求和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则ʃx3dx≈Sn＝in10＝∑ni＝1(in)3·1n＝1n4∑ni＝1i3＝1n4·14n2(n＋1)2＝14(1＋1n)2.∑ni＝1f(in)·Δx探究点一定积分的概念明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(3)取极限ʃ10x3dx＝limn→∞Sn＝limn→∞14(1＋1n)2＝14.反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．探究点一定积分的概念明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练1用定义计算ʃ(1＋x)dx.21解(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝.1＋i－1n，1＋in1n探究点一定积分的概念明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，1＋i－1n，1＋ini－1ni－1ni－1n从而得i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n(2＋i－1n)·1n＝i＝1n2n＋i－1n2探究点一定积分的概念明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]2n·n＋1n2＝2＋1n2·n...