河北省沙城中学补习班高三数学第一轮复习第17讲教案：数学归纳法VIP专享VIP免费

沙城中学补习班数学第一轮复习教案第十七讲：课题：数学归纳法一．知识网络1.归纳法:由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明：①当n=n0（每第一个值）时成立；②假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题成立；这就证明了命题对n0以后的所有正整数都成立。(1)事实上:第一步证明了“归纳基础”；第二步证明了“递推规律”——“若n=k命题成立，则n=k+1命题成立”，从而可以无限的递推下去，保证了对n0以后的所有正整数都成立。(2)两点注意:①两步缺一不可（如命题2）②证“n=k+1成立”必用“n=k成立”（归纳假设）如对于等式2+4+……2n=n2+n+1可以证明“假设n=k时成立，则n=k+1时也成立”，但没有归纳基础。事实上这个等式是不成立的。3．数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；二、经典例题【例1】用数学归纳法证明：1、1112111135212nn)1)(1(41)()2(2)1(22222222nnnnnnnn.[证明]1.当1n时，左边0)11(122，右边0201412，∴左边=右边，1n时等式成立；2.假设kn时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222kkkkkkkk，∴当1kn时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222kkkkkkkk222222[1(1)2(2)()][1(21)2(21)(21)]kkkkkkkkk)]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412kkkkkkkkkk)2()1(41)23)(1(4122kkkkkkk=右边，即1kn时等式成立，根据21与，等式对Nn都正确.【例2】是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于3k－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值为36.方法提炼：本题是探索性命题，它通过观察、归纳、特殊化猜想出结论，再用数学归纳法证明。【研讨.欣赏】如下图，设P1，P2，P3，…，Pn，…是曲线y=x上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn－1QnPn，…都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，…，an，…，求证：a1+a2+…+an=31n（n+1）.xyOP1Q1P2Q2P3Q3证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=3x与曲线y=x的交点，∴可求出P1（31，33）.∴a1=|OP1|=32.而31×1×2=32，命题成立.（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a1+a2+…+ak=31k（k+1），则点Qk的坐标为（31k（k+1），0），∴直线QkPk+1的方程为y=3[x－31k（k+1）].代入y=x，解得Pk+1点的坐标为)).1(33,3)1((2kk∴ak+1=|QkPk+1|=33（k+1）·32=32（k+1）.∴a1+a2+…+ak+ak+1=31k（k+1）+32（k+1）=31（k+1）（k+2）.∴当n=k+1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.解法点评：本题的关键是求出Pk+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|QkPk+1|.三、双基题目1．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222nnnnn时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．222)1(kkB．22)1(kkC．2)1(kD．]1)1(2)[1(312kk2．某个命题与正整数n有关，如果当)(Nkkn时命题成立，那么可推得当1kn时命题也成立.现已知当5n时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立3.用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设2(kkn为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．1kn时等式成立B．2kn时等式成立C．22kn时等式成立D．)2(2kn时等式成立简答:BCB