沙城中学补习班数学第一轮复习教案第二十讲3.4等比数列一、知识网络1.等比数列定义:从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.10nnaqa为常数,且第每项不为零.2.通项公式11nnqaa,推广:mnmnqaa,3.前n项和111(1)(1)(01)11nnnnaqSaqaaqqqq、,q≠1时,mnSS=mnqq11.注:应用前n项和公式时,一定要区分q=1与q≠1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4.等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且acb5.等比数列{an}的性质:(1)若qpnmaaaaNqpnmqpnm则,,,,(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.6.证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若为等比数列数列nnnaNnqaa)(1(2)等比中项法:若2120,()nnnnaaanNa数列为等比数列(3)通项法:若为等比数列数列的常数均是不为nnnaNn,qccqa)0,((4)前n项和法:若(,0,1)nnSAqAAqqq为常数,且数列na为等比数列。二、经典例题【例1】(2006陕西)已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆解: 10Sn=an2+5an+6,①代n=1得10a1=a12+5a1+6,a1=2或a1=3新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2)当a1=3时,a3=13,a15=73新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3【例2】等比数列{an}的各项均为正数,其前n项中,数值最大的一项是54,若该数列的前n项之和为Sn,且Sn=80,S2n=6560,求:(1)前100项之和S100.(2)通项公式an.解:设公比为q,由已知得Sn=qqan1)1(1=80,①S2n=qqan1)1(21=6560,②由②÷①解得,qn=81,q>1,( an>0),可知最大项为an=a1qn-1③qn=81代入①③得a1=2,q=3,(1)前100项之和S100=13)13(2100=3100-1.(2)通项公式为an=2·3n-1.提炼方法:1.转化为基本量;2.解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法.【例3】(2005全国Ⅲ)在等差数列{an}中,公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,,a,a,a,an321kkkk成等比数列,求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn奎屯王新敞新疆解:由题意得:4122aaa即)3()(1121daada又0,dda1an=na1又,,,,,,2131nkkkaaaaa成等比数列,∴该数列的公比3313ddaaq,其中第n+2项:113nkaan又1nknaka13nnk所以数列}{nk的通项为13nnk【例4】已知12a,点1(,)nnaa在函数2()2fxxx的图象上(1,2,3,n)(1)证明数列{lg(1)}na是等比数列;(2)设12(1)(1)(1)nnTaaa,求nT及数列{}na的通项;解:(Ⅰ)由已知212nnnaaa,211(1)nnaa12a11na,两边取对数得1lg(1)2lg(1)nnaa,即1lg(1)2lg(1)nnaa{lg(1)}na是公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知11lg(1)2lg(1)nnaa1122lg3lg3nn1213nna(*)12(1)(1)nTaan…(1+a)012222333n-12…321223n-1…+2=n2-13由(*)式得1231nna【研讨.欣赏】设数列{an},a1=65,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.(1)求证:{an-21}为等比数列;(2)求an;(3)求{an}的前n项和Sn.证明(1) α+β=1nnaa,αβ=11na代入3α-αβ+3β=1得an=31an-1+31,...