河北省沙城中学补习班高三数学第一轮复习第20讲教案：等比数列VIP专享VIP免费

沙城中学补习班数学第一轮复习教案第二十讲3．4等比数列一、知识网络1．等比数列定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.10nnaqa为常数,且第每项不为零.2．通项公式11nnqaa,推广:mnmnqaa,3．前n项和111(1)(1)(01)11nnnnaqSaqaaqqqq、,q≠1时，mnSS=mnqq11.注:应用前n项和公式时,一定要区分q=1与q≠1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且acb5．等比数列{an}的性质:(1)若qpnmaaaaNqpnmqpnm则,,,,(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若为等比数列数列nnnaNnqaa)(1(2)等比中项法:若2120,()nnnnaaanNa数列为等比数列(3)通项法:若为等比数列数列的常数均是不为nnnaNn，qccqa)0,((4)前n项和法:若(,0,1)nnSAqAAqqq为常数,且数列na为等比数列。二、经典例题【例1】(2006陕西)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆解: 10Sn=an2+5an+6，①代n=1得10a1=a12+5a1+6，a1=2或a1=3新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3【例2】等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：（1）前100项之和S100.（2）通项公式an.解：设公比为q，由已知得Sn=qqan1)1(1=80，①S2n=qqan1)1(21=6560，②由②÷①解得,qn=81,q>1,（ an＞0）,可知最大项为an=a1qn－1③qn=81代入①③得a1=2，q=3，（1）前100项之和S100=13)13(2100=3100－1.（2）通项公式为an=2·3n－1.提炼方法:1.转化为基本量;2.解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法.【例3】（2005全国Ⅲ）在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,,a,a,a,an321kkkk成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn奎屯王新敞新疆解：由题意得：4122aaa即)3()(1121daada又0,dda1an=na1又,,,,,,2131nkkkaaaaa成等比数列,∴该数列的公比3313ddaaq，其中第n+2项:113nkaan又1nknaka13nnk所以数列}{nk的通项为13nnk【例4】已知12a，点1(,)nnaa在函数2()2fxxx的图象上(1,2,3,n)（1）证明数列{lg(1)}na是等比数列；（2）设12(1)(1)(1)nnTaaa，求nT及数列{}na的通项；解：（Ⅰ）由已知212nnnaaa，211(1)nnaa12a11na，两边取对数得1lg(1)2lg(1)nnaa，即1lg(1)2lg(1)nnaa{lg(1)}na是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)nnaa1122lg3lg3nn1213nna（*）12(1)(1)nTaan…(1+a)012222333n-12…321223n-1…+2=n2-13由（*）式得1231nna【研讨.欣赏】设数列｛an｝，a1＝65，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0（n∈Ｎ*且n≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛an－21｝为等比数列；（2）求an；（3）求｛an｝的前n项和Sn.证明（1） α＋β＝1nnaa，αβ＝11na代入3α－αβ＋3β＝1得an＝31an－1＋31，...