河北省沙城中学补习班高三数学第一轮复习第18讲教案： 数列 通项公式VIP专享VIP免费

沙城中学补习班数学第一轮复习教案第十八讲3.2数列通项公式一．知识网络1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列,简记为{an}。数列可视为特殊函数，它的定义域是正整数集或它的子集（1、2、3…），注意用函数的观点分析问题，如表示法、分类、性质等.2.数列的分类:（1）有穷数列；无穷数列.（2）有界数列；无界数列.(3)递增数列；递减数列;摆动数列；常数数列;3.通项公式：表示an与项数n之间关系的公式，an=f（n）.有的数列不能写出通项公式，有的数列通项公式也不唯一.4.数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an;Sn与an的关系：an=11nnSSS).2(),1(nn5.递推公式是确定数列的一种方式，要能根据数列的递推关系写出数列或求出通项公式.6.数列的单调性及最大、小项的求法：若对任意的正整数n，都有an+1>an(<),则{an}递增（减），（也可按函数的方法判断单调性）。(1)求最大项11nnnnaaaa(也可只用一个1nnaa来求,要验证等号是否成立)(2)由通项公式求最大,小项,可利用函数单调性,导数法等.求最小项类似.二、经典例题【例1】有一数列｛an｝，a1＝a，由递推公式an＋1＝nnaa12，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.解： a1＝a，an＋1＝nnaa12，∴a2＝aa12，a3＝2212aa＝aaaa12114＝aa314，a4＝3312aa＝aaaa3141318＝aa718.观察规律：an＝yaxa1形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2n－1.而y比x小1，∴an＝aann)12(1211.下面再用数学归纳法证明:法二:由an＋1＝nnaa12得112nnnnaaaa同除以1nnaa得1112111,12(1)nnnnaaaa即,∴当a=1时,an≡1;当a≠1时,1{1}na是等比数列.公比是12,首项11111aa11111121(1)(),21(21)nnnnnaaaaa.当a=1时也适合此式.提炼方法:1.”猜想+证明”,即通过分析特殊的事例,归纳、猜想出一般规律，再用数学归纳法证明，这种探索问题的方法，在解数列问题时经常用到，应引起足够的重视.2.由递推公式,化归为等比或等差数列再求.1112(1)1nnaa方法更为便捷.【例2】已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）写出数列na的前三项321,,aaa；（2）求数列na的通项公式；解：（１）为了计算前三项321,,aaa的值，只要在递推式1,)1(2naSnnn中，对n取特殊值1,2,3n，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆由111121,1;aSaa得由2122222(1),0;aaSaa得由31233332(1),2.aaaSaa得（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的nS新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆事实上当2n时，由2(1)nnnSa得1112(1)nnnSa两式相减得1222(1)nnnnaaa即,)1(2211nnnaa两边同乘以(1)n，便得11(1)2(1)2nnnnaa新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆令(1)nnnba就有122nnbb，于是1222()33nnbb，这说明数列23nb是等比数列，公比2,q首项11b，从而，得111221()(2)()(2)333nnnbb，即121()(2)(1)33nnna，故有.1],)1(2[3212nannn经验证a1也满足上式，故知.1],)1(2[3212nannn法二:迭代法:122111)1(2)1(2)1(22nnnnnaa212[2(1)].3nn提炼方法:1.利用Sn与an的关系转化为an,an-1的递推关系:1nnacad形式;再转化为等比数列.2.法二:也可以由Sn与an的...