河北省沙城中学补习班高三数学第一轮复习第21讲教案：数列的前n项和VIP专享VIP免费

沙城中学补习班数学第一轮复习教案第二十一讲3．5数列的前n项和一、知识网1．等差、等比数列的求和（1）公比含字母时一定要讨论。（2）无穷递缩等比数列时，qaS112．错位相减法求和：如：.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。4．合并求和：如：求22222212979899100的和。5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：111)1(1nnnn,)121121(21)12)(12(1nnnn，11(3132)33132nnnn,)!1(1!1)!1(nnnn1112311333131nnnnn6．公式法求和6)12)(1(12nnnknk7．倒序相加法求和:（1）如等差数列求和公式的推导,(2)如an=nnC1008．其它求和法：归纳猜想法，二、经典例题【例1】求和：①求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和nS②22222)1()1()1(nnnxxxxxxS③已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan，求nS④已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。解：①(21)2(21)[(21)(1)]kakkkkk2[(21)(32)]53222kkkkk2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221nnnnnnnaaaSnn)25)(1(61nnn②)21()21()21(224422nnnxxxxxxSnxxxxxxnn2)111()(242242（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222（2）当nSxn4,1时③1)12(53112nnanaaS2)12(5332nnanaaaaSnnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时21)1()12()12(1aananaSnnn当2,1nSan时④an=-2n+(-1)n,分两个数列求和得2(22)2[1(1)]1(1)21(1)nnnnnSnn法2:(对n分奇偶讨论求和)nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212)1(2)2321(2,2则)1(2)12()2321(2nnmmmSn若212221,nmmmnmSSSa则2(21)22[2(1)](21)22(21)mmmmmmm22)1()1(224222nnnnmm)(2)()1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn提炼方法:1.通过分组，通过拆并组合，凑出等差等比数列，用公式求和;2.乘公比,错位相减法求和,用于等差、等比数列对应项的积构成的数列求和.3.运用等比数列求和公式时,要注意公比11qq或讨论。【例2】求和)12)(12()2(534312222nnnSn解:22(2)(2)11(21)(21)(21)(21)kkkakkkk111111()(21)(21)22121kkkk12111111[(1)()()]23352121112(1)(1)22121nnSaaannnnnnnn提炼方法:凑分母化简，心中的目标是凑出“等差数列连续两项积的倒数”再裂项相消。练习:求nnanaaaS32321答案:)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn【例3】求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCCnnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有nnnnnnnnCCCCnS2)1(])[1(210等式成立提炼方法:与推导等差数列求和公式一样，倒序相加，凑出特殊数列求和。此外还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。【例4】（2005全国1）设等比数列na的公比为q，前n项和),2,1(0nSn（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设1223nnnaab，记nb的前n项和为nT，试比较nS与nT的大小解:（Ⅰ）当q>0时显然成立;当q<0时1(1)010,11nnnnaqSqqq则对任意n成立,必有q>-1,故q的取值范围是).,0()0,1(（Ⅱ） 0,10...