应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数湖北省黄冈中学袁小幼[教学目标]知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3）了解过一点作三次函数图像切线条数的结论.过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类.情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力；（2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美.[教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法.[教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法.[教学方法]探究式教学.[教学手段]多媒体辅助教学.[教学过程]1三次函数图像的对称性1.1创设情景，提出问题三次函数是奇函数，它的图像的对称中心是（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？观察函数的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？1.2回归通法，探究发现研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.1.3追根索源，理解本质为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数，它的图像有唯一的对称中心.①2过一点作三次函数图像切线条数的探究2.1因势利导，引出问题三次函数过对称中心的切线是如何的？通过实例来探究.在对称中心（1，1）处的切线方程为，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？2.2恰当分类，实例探索因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图用心爱心专心像上的点（除对称中心）是一种情形，过对称中心的切线上的点（除对称中心）是一种情形.我们选择三次函数为例来探究.先选右边的点，设切点，列方程，有多少条切线，对应有多少个切点，对应方程有多少个根.对于三次方程，有少个根，对应它的图像与轴有多少个交点，可应用导数分析.其他情形，让学生分组计算，讨论作答.2.3归纳总结，得到结论设三次函数图像在其对称中心处的切线为，是三次函数图像所在平面上的一点，则（1）过点能且仅能作的一条切线，当且仅当点位于和所夹的上下两个区域内（边界除外），或点与点重合.（2）过点能且仅能作的两条切线，当且仅当点位于或上（点除外）.（3）过点能且仅能作的三条切线，当且仅当点位于和所夹的左右两个区域内（边界除外）.②根据三次函数首项系数的正负画出相应的示意图如下：3小结知识点1对称中心，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.知识点2切线条数，用图表示.数学思想方法数形结合，特殊与一般，化归转化.4思考（1）对称中心我们是通过观察导图像得到的，对于对称问题，我们在函数中讲到了很多，你能用其他方法求三次函数图像的对称中心吗？（2）过一点作三次函数图像切线条数的结论，我们是通过具体例子归纳得到的，你能给出对一般函数的证明吗？5作业设的极小值为，其导函数的图像是经过点开口向上的抛物线.（1）求的解析式;（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.①管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯.2004（15）.②贺斌.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论.数学通讯.2008（3）.用心爱心专心
