1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．“x>1”是“x2>x”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＞x得x＜0或x＞1，∵x＞1＞?x2＞x，而x2＞xx＞1，∴“x＞1”是“x2＞x”的充分而不必要条件．答案：A2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．答案：C3．设集合A、B是全集U的两个子集，则AB是(?UA)∪B＝U的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：如上图所示，AB?(?UA)∪B=U；但(?UA)∪B=UAB，如A=B，因此AB是(?UA)∪B=U的充分不必要条件．答案：A4．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零常数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别为M与N，那么“a1a2＝b1b2＝c1c2”是“M＝N”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：不等式2x2－x＋1>0，－2x2＋x－1>0对应系数成比例但解集不等；不等式x2＋x＋1>0与x2＋x＋2>0的解集相等，但对应系数不成比例．答案：D二、填空题5．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：26．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是________．解析：若a＝0，则x＝－12；若a≠0，方程至少有一个负的实根的充要条件是Δ＝0，或Δ＞0，1a＜0，或Δ＞0，－2a＜0，1a＞0，解得a≤1，a≠0.综上可知a≤1.答案：a≤17．定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数．根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．答案：充分不必要三、解答题8．试证一元二次方程至多只能有两个不同的实根．证明：假设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至少有三个不同的根，不妨设这三个根为x1，x2，x3.∴ax21＋bx1＋c＝0①ax22＋bx2＋c＝0②ax23＋bx3＋c＝0③①－②得a(x21－x22)＋b(x1－x2)＝0，由x1≠x2知a(x1＋x2)＋b＝0.④同理②－③整理得a(x2＋x3)＋b＝0，⑤④－⑤得a(x1－x3)＝0.∵a≠0，∴x1－x3＝0即x1＝x3此为矛盾．∴一元二次方程至多只能有两个不同的根．9．若a、b为非零向量，求证|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是a与b共线同向．证明：|a＋b|＝|a|＋|b|?(a＋b)2＝(|a|＋|b|)2?2a·b＝2|a||b|?cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝1?〈a，b〉＝0?a，b共线同向．10．求证方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>3，这个条件充分吗？为什么？证明：∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－ax1x2＝1，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.∴|a|≥5>3.∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>3；但a＝2时，x21＋x22＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．1．若p：a2＋b2>2ab，q：|a＋b|<|a|＋|b|，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a2＋b2>2ab?a≠b?ab<0?|a＋b|<|a|＋|b|，∴p是q的必要不充分条件．答案：B2．证明f(x)＝cosx＋sin2x不是周期函数．证明：假设f(x)＝cosx＋sin2x是周期函数，T是f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，即cos(x＋T)＋sin2(x＋T)＝cosx＋sin2x令x＝0，解cosT＋sin(2T)＝1①令x＝－2T，解cosT－sin2T＝1②由①②解得：cosT＝1，sin2T＝0，由cosT＝1，得T＝2mπ，m∈Z③由sin2T＝0，得2T＝nπ，n∈Z④④÷③得2＝n2m，此为矛盾．因此f(x)＝cosx＋sin2x不是周期函数．
