上海交大附中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）2．已知函数f（x）＝ax2+2x是奇函数，则实数a＝．4．方程lg（2x+1）+lgx＝1的解集为．6．若集合A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}，B＝{y|y2＝1，y∈R}，则A∩B＝．7.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝．8.已知函数（fx）＝ax+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为．10．给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是①存在实数α，使sinαcosα＝1；⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11．某同学向王老师请教一题：若不等式x﹣4ex﹣alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“ex≥x+1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，且g（x）＝x﹣4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是．1．函数的最小正周期T＝．3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝．5．设函数，那么f﹣1（10）＝．9．已知函数f（x）＝asinx+cosx在上的最小值为﹣2，则实数a的值为．②存在实数α，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；16．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：112221221221221212121211212212.设二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且二、选择题（本大题共4题，满分20分）13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A．2B．3C．4D．514.对于函数f（x）＝asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x，y），B（x，y），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x＜0，y+y＞0C．当a＞0时，x1+x＜0，y+y＜0B．当a＜0时，x1+x＞0，y+y＜0D．当a＞0时，x1+x＞0，y+y＞0命题p：a+b≥0；命题p：a﹣b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A．p、p中仅p是q的充分条件C．p、p都不是q的充分条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）B．p、p中仅p是q的充分条件D.p、p都是q的充分条件（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y＝f（x）是奇函数但不是偶函数．f（1）≤2，则+的取值范围为．15．设函数f（x）＝，g（x）＝ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y＝f（x）的图象与y＝17．（15分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且BA．18．（15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S＝g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC＝x（cm），矩形ABCD的面积为S＝f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．（1）解方程：cosh（x）＝2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）＝，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）＝a有解，求实数a的取值范围．19．（15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：．（e是自然对数的底数，e＝2.71828）．[0a][a2a]20．（15分）对闭区间I，用MI表示函数y＝f（x）在I上的最大值．（3）已知f（x）＝sinx，若有且仅有一个正数a使得M＝kM成立，求实数k的取值，，范围．21．（16分）定义域为R的函数y＝f（x），对于给定的非空集合A，AR，若对于A中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y＝f（x）是“集合A上的Z﹣函数”．（1）给定集合A＝{﹣1，1}，函数y＝f（x）是“集合A上的Z﹣函数”，求证：函数y＝f（x）是周期函数；（2）给定集合A...
