上海交大附中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)2.已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=.4.方程lg(2x+1)+lgx=1的解集为.6.若集合A={x|3cos2πx=3x,x∈R},B={y|y2=1,y∈R},则A∩B=.7.幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA.那么αβ=.8.已知函数(fx)=ax+1﹣2(a>0且a≠1)的图象不经过第四象限,则a的取值范围为.10.给出四个命题:其中所有的正确命题的序号是①存在实数α,使sinαcosα=1;⑤若α,β是第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ.11.某同学向王老师请教一题:若不等式x﹣4ex﹣alnx≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.王老师告诉该同学:“ex≥x+1恒成立,当且仅当x=0时取等号,且g(x)=x﹣4lnx在(1,+∞)有零点”.根据王老师的提示,可求得该问题中a的取值范围是.1.函数的最小正周期T=.3.已知集合A={x||x|<2},B={x|>0},则A∩B=.5.设函数,那么f﹣1(10)=.9.已知函数f(x)=asinx+cosx在上的最小值为﹣2,则实数a的值为.②存在实数α,使;③是偶函数;④是函数的一条对称轴方程;16.设函数f(x)=2x﹣2﹣x+,x∈R,对于实数a、b,给出以下命题:112221221221221212121211212212.设二次函数f(x)=mx2﹣2x+n(m,n∈R),若函数f(x)的值域为[0,+∞),且二、选择题(本大题共4题,满分20分)13.一个扇形的面积是1平方厘米,它的周长是4厘米,则它的圆心角是()弧度A.2B.3C.4D.514.对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(﹣1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x,y),B(x,y),则下列判断正确的是()A.当a<0时,x1+x<0,y+y>0C.当a>0时,x1+x<0,y+y<0B.当a<0时,x1+x>0,y+y<0D.当a>0时,x1+x>0,y+y>0命题p:a+b≥0;命题p:a﹣b2≥0;命题q:f(a)+f(b)≥0.下列选项中正确的是()A.p、p中仅p是q的充分条件C.p、p都不是q的充分条件三、解答题(本大题共有5题,满分76分)B.p、p中仅p是q的充分条件D.p、p都是q的充分条件(1)求实数a的取值范围;(2)求证:函数y=f(x)是奇函数但不是偶函数.f(1)≤2,则+的取值范围为.15.设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)若y=f(x)的图象与y=17.(15分)已知函数的定义域为集合A,集合B=(a,a+1),且BA.18.(15分)如图,在半径为20cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上.(1)请你在下列两个小题中选择一题作答即可:①设∠BOC=θ,矩形ABCD的面积为S=g(θ),求g(θ)的表达式,并写出θ的范围.②设BC=x(cm),矩形ABCD的面积为S=f(x),求f(x)的表达式,并写出x的范围.(2)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积.(1)解方程:cosh(x)=2;(2)类比两角和的正弦公式,写出两角和的双曲正弦公式:sinh(x+y)=,并证明;(3)若对任意t∈[0,ln2],关于x的方程sinh(t)+cosh(x)=a有解,求实数a的取值范围.19.(15分)在数学中,双曲函数是与三角函数类似的函数,最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数,其中双曲正弦:,双曲余弦函数:.(e是自然对数的底数,e=2.71828).[0a][a2a]20.(15分)对闭区间I,用MI表示函数y=f(x)在I上的最大值.(3)已知f(x)=sinx,若有且仅有一个正数a使得M=kM成立,求实数k的取值,,范围.21.(16分)定义域为R的函数y=f(x),对于给定的非空集合A,AR,若对于A中的任意元素a,都有f(x+a)≥f(x)成立,则称函数y=f(x)是“集合A上的Z﹣函数”.(1)给定集合A={﹣1,1},函数y=f(x)是“集合A上的Z﹣函数”,求证:函数y=f(x)是周期函数;(2)给定集合A...