2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(解析版) VIP免费

12024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+qn-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n!q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0!q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nkq=n!qk!qn-k!q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nkq=n-1k-1q+qkn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1k+1q-nk+1q=∑mi=0qn-k+in+ikq.【解】(1)由定义可知，532=5!23!22!2=(1)2(2)2(3)2(4)2(5)2(1)2(2)2(3)2(1)2(2)2=(4)2(5)2(1)2(2)2=1+2+22+231+2+22+23+241×1+2=155.(2)因为nkq=n!qk!qn-k!q=(n)q⋅n-1!qk!qn-k!q，n-1k-1q+qkn-1kq=n-1!qk-1!qn-k!q+qk⋅n-1!qk!qn-k-1!q=n-1!qk!qn-k!q(k)q+qk⋅(n-k)q.又(k)q+qk⋅(n-k)q=1+q+⋯+qk-1+qk1+q+⋯+qn-k-12=1+q+⋯+qn-1=(n)q,所以nkq=n-1k-1q+qkn-1kq(3)由定义得：对任意k∈N,n∈N*,k≤n,nkq=nn-kq.结合(2)可知nkq=nn-kq=n-1n-k-1q+qn-kn-1n-kq=n-1kq+qn-kn-1k-1q即nkq=n-1kq+qn-kn-1k-1q，也即nkq-n-1kq=qn-kn-1k-1q.所以n+m+1k+1q-n+mk+1q=qn+m-kn+mkq，n+mk+1q-n+m-1k+1q=qn+m-1-kn+m-1kq，⋯⋯n+1k+1q-nk+1q=qn-knkq.上述m+1个等式两边分别相加得：n+m+1k+1q-nk+1q=∑mi=0qn-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(xi-xj)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得xi+1-xii=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.【解】(1)若xi+1-xii=1,2,3,4等于同一常数，根据等差数列的定义可得xi构成等差数列，所以x1+x2+x3+x4+x5=5x3=2024，解得x3=20245，与x3∈N*矛盾，3所以不存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得xi+1-xii=1,2,3,4等于同一常数；(2)因为x=15x1+x2+x3+x4+x5=20245=404.8，依题意t=1时，即当1≤i,j≤5时，max(xi-xj)=1，所以maxxi=405，minxj=404，设有y个405，则有5-y个404，由405y+4045-y=2024，解得y=4，所以x1，x2，x3，x4，x5中有4个405，1个404，所以方程①的解共有5组.(3)因为平均数x=15x1+x2+x3+x4+x5=20245=404.8，又方差σ2=155i=1xi-x2，即5σ2=5i=1xi-x2=5i=1x2i-5x2，所以S=5σ2+5x2，因为x为常数，所以当方差σ2取最小值时S取最小值，又当t=0时x1=x2=x3=x4=x5，即5x1=2024，方程无正整数解，故舍去；当t=1时，即x1,x2,x3,x4,x5是1-密集时，S取得最小值，且Smin=4×4052+4042=819316.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)=(A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行...