实用标准文案文档直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线ykxm和椭圆：222210xyabab为例（1）联立直线与椭圆方程：222222ykxmbxayab（2）确定主变量x（或y）并通过直线方程消去另一变量y（或x），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：222222bxakxmab，整理可得：22222222220akbxakxmamab（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系①0方程有两个不同实根直线与椭圆相交②0方程有两个相同实根直线与椭圆相切③0方程没有实根直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线ykxm和椭圆：222210xyabab为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222ykxmbxayab，消元代入后可得：22222222220bakxakxmamab（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220akb，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222bak，有可能为零。所以要分情况进行讨论实用标准文案文档当2220bbakka且0m时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只有一个公共点当2220bbbakkaa时，常数项为22220amab，所以0恒成立，此时直线与双曲线相交当2220bbakka或bka时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断：①0方程有两个不同实根直线与双曲线相交②0方程有两个相同实根直线与双曲线相切③0方程没有实根直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为,,aa，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当xa时，点位于双曲线的右支；当xa时，点位于双曲线的左支。对于方程：22222222220bakxakxmamab，设两个根为12,xx①当2220bbbakkaa时，则2222122220amabxxbak，所以12,xx异号，即交点分别位于双曲线的左，右支②当2220bbakka或bka，且0时，2222122220amabxxbak，所以12,xx同号，即交点位于同一支上（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点ba刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定①bka且0m时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点实用标准文案文档②bbkaa时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。③2220bbakka或bka时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线ykxm和抛物线：220ypxp为例联立方程：2222ykxmkxmpxypx，整理后可得：222220kxkmpxm（1）当0k时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交（2）当0k时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定①0方程有两个不同实根直线与抛物线相交②0方程有两个相同实根直线与抛物线相切③0方程没有实根直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物线方程：22ypx，过焦点的直线:2plykx（斜率存在且0k），对应倾斜角为，与抛物线交于1122,,,AxyBxy联立方程：2222222ypxpkxpxpykx，整理可得：22222204kpkxkppx（1）2124pxx212yyp实用标准文案文档（2）2212222222121kppkppABxxpppkkk22221cos22121tansinsinppp（3）221112sinsin2222sin2sinAOBOlpppSdABOFAB（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用...
