教材过关十三全等三角形一、填空题1.如图8-6,AD⊥AC,BC⊥BD,要想使△ADC≌△BCD,小王添加了一个条件AC=BD,其依据为______________,你还可以加一个条件______________,依据为______________.图8-6答案：HL∠ADC=∠BCDAAS提示：由AC=BD以及公共边CD=DC，依据“HL”可判定两个直角三角形全等.∠ADC=∠BCD，∠A=∠B=90°，CD=DC，由“AAS”判定三角形全等.2.如图8-7，已知△ABC中,D是BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.如果DE=DF,∠BAC=60°,AD=20cm,那么DE的长是___________________cm.图8-7答案：10提示：DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠AED=∠AFD=90°，又DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF，∠EAD=30°，根据含有30°直角三角形的性质，DE=AD=10cm.3.如图8-8,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,则∠BOC=_______________.图8-8答案：115°提示：∠A=50°，依据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=65°，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°=115°.二、选择题4.△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△DEF,则补充的这个条件为A.BC=EFB.∠A=∠DC.AC=DFD.∠C=∠F答案：C提示：补充AC=DF后，条件为两角对边对应相等，两个三角形不一定全等.5.如图8-9,已知△ABC的六个元素,则图8-10中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是图8-9图8-10答案：B提示：乙和△ABC满足两角夹边，丙和△ABC满足两角和其中一角的对边，以上两个都可判定三角形全等.答案：A提示：两条边对应相等，有两种情况，其一两边若是两直角边，再加上夹角为直角，依据“SAS”判定全等；其二两边若是一直角边和斜边，可依据“HL”判定两直角三角形全等.7.图8-11是将矩形纸片沿对角线折叠得到的,图中(包括实线、虚线在内)共有全等三角形_____________对.图8-11答案：D提示：△ABD≌△EDB，△ABD≌△DCB，△EDB≌△DCB，△OBD和它下面重叠部分的三角形全等△AOB≌△DOE.三、解答题8.如图8-12,已知AE=CF,∠DAF=∠BCE,AD=CB.图8-12(1)问:△ADF与△CBE全等吗?请说明理由.(2)如果将△BEC沿CA边方向平行移动,可有图8-13中3幅图,如上面的条件不变,结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由.图8-13答案：(1)全等.提示：证明：∵AE=CF,∴AF=CE.又∵∠DAF=∠BCE，AD=CB,∴△ADF≌△CBE.答案：(2)成立.提示：如第一幅图证明：∵AE=CF,∴AF=CE.又∵∠DAF=∠BCE，AD=CB,∴△ADF≌△CBE.9.(2010辽宁大连中考)如图8-14,E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需研究一组线段相等即可).图8-14(1)连结_______________；(2)猜想：_______________；(3)证明：(说明：写出证明过程的重要依据)如图.答案：(1)CF(2)CF=AE(3)∵四边形ABCD是平行四边形,∴ADBC,∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).∵∠2+∠4=180°,∠1+∠3=180°,∴∠3=∠∵DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴CF=AE.提示：由平行四边形ABCD,可得对边相等,且∠FBC=∠ADE,又DE=BF,所以连结CF,即可创设全等三角形.10.如图8-15,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点.图8-15(1)写出O点到△ABC三个顶点A、B、C的距离关系(不要求证明);(2)如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.(1)答案：OA=OB=OC.提示：连结OA，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，易证得△OAC≌△OAB，又∠C=45°，所以∠OAC=45°，OC=OA，同理，OA=OB.(2)答案：△OMN为等腰直角三角形.证明：AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°，△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM，又∠AOM+∠BOM=90°，所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.11.如图8-16,线段BE上有一点C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE,连结AE、BD,分别交CD、CA于Q、P.图8-16(1)找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外),并说明你的理由.(2)取AE的中点M、BD的中点N,连结MN,试判断△CMN的形状.(1)答案：BD=AE.证明：等边三角形ABC、DCE中，∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，∠BCD=∠ACE，BC=AC，DC=EC，所以△BCD≌△ACE(SAS).(2)答案：等边三角形.证明：由△BCD≌△ACE，可得∠1=∠2，BD=AE，M是AE的中点、N是BD的中点，所以DN=EM，又DC=CE，因此△DCN≌△ECM,∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°，所以∠NCD+∠DCM=60°,即∠NCM=60°，△CMN为等边三角形.
