常用三角恒等变换技巧师VIP专享VIP免费

实用标准文案精彩文档常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一、“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1已知534cosx，4743x，求xxxtan1sin22sin2的值。【分析】考虑到“已知角”是4x，而“未知角”是x和x2，注意到44xx，可直接运用相关公式求出xsin和xcos。【简解】因为4743x，所以24x，又因为0534cosx，所以2423x，544sinx10274sin4cos4cos4sin44sinsinxxxx，从而102cosx，7tanx.原式=7528tan1sin2cossin22xxxx.【反思】（1）若先计算出102cosx，则在计算xsin时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出xsin和xcos.但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2422xx，运用诱导公式和倍角公式求出x2sin。例2已知)tan()tan(，其中1，求证：112sin2sin【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是2与2，将三个角比较分析发现)()(2，)()(2，把“未实用标准文案精彩文档知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。【简证】sinsin2sin2sin)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()tan()tan()tan()tan(11)tan()tan()tan()tan(【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出tan与tan的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：，，22，22，)4(24，304575等.二、“名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式，平方关系也能进行名变换。例1已知向量)1,tan1(xa，)0,2cos2sin1(xxb，求baxf)(的定义域和值域；【分析】易知)2cos2sin1)(tan1()(xxxxf，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【简解】)2cos2sin1)(tan1()(xxxxf1cos2cossin21cossin12xxxxxxxxxsincossincos2x2cos2由0cosx得，Zkkx,2，22cos2x所以，xxf2cos2)(.的定义域是Zkkxx,2，值域是2,2.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求实用标准文案精彩文档解.例2已知,都是锐角，且cossincossintan，求cossinsin的值。【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.【简解1】显然0cos时，4tan4tantan14tantan1cossin1cossintan，因为,都是锐角，所以4，所以，224sin2sincossinsin.【简解2】由cossincossincossin得，cossincoscossinsin，设Acossincoscossinsin，则22222cossincossincossinA，所以，122A，22A，即22cossinsin.【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.三、“常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如xx22cossin1，45tan1，3tan3等.例1（1）求证:23cossin1cossin14466xxxx；（2）化简：xx2cos32sin.【分析】第（1）小题运用322cossin1xx和222cossin1xx把分子、分母都变成齐次式后...