-1-/11精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题T两直线位置关系T两直线夹角公式T点到直线距离授课时间教学内容两直线位置关系知识导入一、两直线位置关系平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合。从几何特征上看：相交有唯一的公共点；平行没有公共点；重合至少有两个公共点，进而有无数个公共点。在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？一般地，设两条直线的方程分别为1l：0111cybxa（11,ba不全为零）⋯⋯①2l：0222cybxa（22,ba不全为零）⋯⋯②两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线1l、2l的交点？由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程联立起来组成的方程组；反之，若两个二元一次方程有公共解，那么以这解为坐标的点必是两条直线的交点。二、两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系直线1l、2l的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l、2l的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解。因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l、2l的位置关系。回忆解方程组的过程，计算由方程的系数构成的行列式：2211babaD，2211bcbcDx，2211cacaDy.则当02211babaD时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为DDyDDxyx，此时1l、2l相交于一点，交点坐标是DDDDyx,。当02211babaD且yxDD,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l、2l没有公共点，直线1l与2l平行。当0yxDDD时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l、2l有无数多个公共点，即直线1l与2l重合。结论：两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：①1l与2l相交方程组(Ⅰ)有唯一解0D即1221baba；-2-/11②1l与2l平行方程组(Ⅰ)无解0D且yxDD,中至少有一个不为零；③1l与2l重合方程组(Ⅰ)有无穷多解0yxDDD。02211babaD时，1l与2l平行或重合，即02211babaD是1l与2l平行的必要非充分条件。换言之，2112baba1l∥2l；若两条直线不重合，则1221baba1l//2l三、向量分析两直线位置关系从向量的角度，两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢？1l与2l的一个方向向量分别是),(111abd,),(222abd；一个法向量分别是),(111ban,),(222ban，则1l与2l有如下关系：①1l和2l相交1d不平行2d1d不垂直2n02112baba；特别地，直线1l⊥2l1d⊥2d02121bbaa；②1l//2l1d平行2d1d垂直2n02112baba；③1l和2l重合1d平行2d1d垂直2n02112baba。四、三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论。若1l和2l都没有斜率，则1l与2l平行或重合。若1l和2l中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则1l⊥2l。若两直线的斜率都存在，直线方程可以化为1l：11dxky，2l：22dxky，则有：①1l//2l21kk且21dd；②1l和2l重合21kk且21dd；③1l和2l相交21kk；特别地，直线1l⊥2l的充要条件是121kk。[说明]判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑，使用时要注意方法上的选择。一般情况，采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用。典型例题【例1】已知两条直线1l：06myx，2l：023)2(myxm。当m为何值时，1l与2l：-3-/11(1)相交，(2)平行，(3)重合。【例2】求经过原点且经过直线022:1yxl与直线022:2yxl的交点的直线方程。【例3】已知直线1l：313xay与2l：01)1(2yax，求实数a的值，使直线1l与2l平行。【例4】若三条直线1l：023yx，2l：032yx，3l：0ymx，当m为何值时，三条直线不能构成三角形？【例5】设直线的方程为0518)23()12(mymxm，求证：不论m为何值，所给的直线经过一定点。课堂检测1、等腰三角形一腰所在的直线1l的方程是220xy，底边所在的直线2l的方程是10xy，点2,0在另一腰上，求这腰所在直线3l的方程.-4-/112、光线沿直线l1：022yx照射到直线l2：022yx上后反射，求反射线所在直线3l的方程.3、已知两条直线：1l：(3+m)x+4y=5-3m，2l：2x+(5+m)y=8．m为何值时，1l与2l：(1)相交；(2)平行；(3)重合。4、求满足下列条件的方程：(1)...
