放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略VIP专享VIP免费

1放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：111121kkkkk；（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)kkkkkk；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11nnnn；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221nnnn；（3）应用基本不等式放缩：222222nnnnnnnn；（4）二项式定理放缩：如2121(3)nnn；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)nnnaaaaaaaan。4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n。设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT。2证明：易得12(21)(21),3nnnS1132311()2(21)(21)22121nnnnnnT，112231113113111111()()221212212121212121nniiinniiT=113113()221212n点评：此题的关键是将12(21)(21)nnn裂项成1112121nn，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)nn项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2已知数列{}na和{}nb满足112,1(1)nnnaaaa，1nnba，数列{}nb的前n和为nS，2nnnTSS；（I）求证：1nnTT；（II）求证：当2n时，2nS71112n。证明：（I）1111111()2322122nnTTnnnnnn11121221nnn10(21)(22)nn∴1nnTT．（II）112211222222,nnnnnnSSSSSSSS1221122nnTTTTS由（I）可知nT递增，从而12222nnTTT，又11217,1,212TST，12211222nnnSTTTTS21171711(1)(1)112212nnTTSn即当2n时，2nS71112n。点评：此题（II）充分利用（I）的结论，nT递增，将2nS裂成1122112222nnnnSSSSSSS的和，从而找到了解题的突破口。3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。例4已知数列{}nx满足，1111,,*21nnxxnNx，证明：1112||()65nnnxx。3证明：当1n时，1211||||6nnxxxx，结论成立。当2n时，易知1111101,12,12nnnnxxxx111115(1)(1)(1)(1)212nnnnnxxxxx1111||11||||11(1)(1)nnnnnnnnxxxxxxxx211112122212||()||()||()55565nnnnnnxxxxxx点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。例1.{}nb满足：2111,(2)3nnnbbbnb（1）用数学归纳法证明：nbn（2）1231111...3333nnTbbbb，求证：12nT解：(1)略(2)13()2(3)nnnnbbbnb又nbn132(3)nnbb，*nN迭乘得：11132(3)2nnnbb*111,32nnnNb234111111111...2222222nnnT点评：把握“3nb”这一特征对“21(2)3nnnbbnb”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一...