实用文案标准文档数值分析课程设计报告求积公式的实际应用学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号姓名指导教师成绩教师评语：指导教师签字：2018年1月8日实用文案标准文档1绪论数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值检索方其理论与软件的实现。随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和亚丁实验性的技术特征，计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科。在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。2Gauss求积公式2.1基本原理求积公式0()d()nbkkakfxxAfx(2.1)含有2n+2个待定参数，kx，(0,1,,).kAkn当kx为等距节点时得到的插值求积公其代实用文案标准文档数精度至少为n次，如果适当选取(0,1,,)kxkn，有可能使求积公式(2.1)具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为高斯求积公式。为具有一般性，研究带权积分()()dbaIfxxx，这里()x为权函数，求积公式为0()()d()nbkkakfxxxAfx(2.2)(0,1,,)kAkn为不依赖于()fx的求积系数，(0,1,,)kxkn为求积节点，可适当选取kx及kA，使(2.2)具有2n+1次代数精度。如果求积公式(2.2)具有2n+1次代数精度，则称其节点(0,1,,)kxkn为高斯点，相应求积公式(2.2)称为高斯求积公式。根据定义要使(2.2)式具有2n+1次代数精度，只要对()mfxx，(0,1,21mn)，令(2.2)式精确成立，即0()dnbmmkkakAxxxx0,1,21mn.(2.3)当给定权函数()x，求出右端积分，则可由(2.3)式解得(0,1,,)kxkn及(0,1,,)kAkn2.2程序实现建立gaussl.m文件，写入如下内容：functions=gaussl(a,b,n)h=(b-a)/n;s=0.0;form=0:(1*n/2-1)s=s+h*(gaussf(a+h*((1-1/sqrt(3))+2*m))+gaussf(a+h*((1+1/sqrt(3))+2*m)));end2.3实例分析例计算积分10logdxxx解建立gaussf.m文件以调用gaussl.m文件中的函数，再写入如下内容：functiony=gaussf(x)实用文案标准文档y=sqrt(x)*log(x);再在命令行中输入：>>s=gaussl(0,1,20)得出如下结果：s=-0.44563高斯-勒让德求积公式3.1基本原理在高斯求积公式(2.1)中，若取权函数()1x，区间为-11，，则得公式1-10()d().nkkkfxxAfx(3.1)由于勒让德多项式是区间-11，上的正交多项式，因此，勒让德多项式1P()nx的零点就是求积公式(3.1)的高斯点。形如(3.1)式的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式。3.2程序实现建立guasslegendre.m文件，写入如下内容：function[ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)ifnargin==1a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseifnargin==3n=7;tol=1e-8;elseifnargin==4tol=1e-8;elseifnargin==2|nargin>5error('TheNumberofInputArgumentsIsWrong!');实用文案标准文档end%计算求积节点symsxp=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));tk=roots(p);%求积节点%计算求积系数Ak=zeros(n+1,1);fori=1:n+1xkt=tk;xkt(i)=[];pn=poly(xkt);fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol);%求积系数end%积分变量代换，将[a,b]变换到[-1,1]xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2...
