数列求通项与求和常用方法归纳+针对性练习题VIP免费

...下载可编辑.数列通项与求和常见方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝S1Sn－Sn－1n＝1，n≥2；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如an＋1an＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法：①dnnnaaanSnn2)1(2)(11②)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：①111(1)1nnnn②1111()()nnkknnk③222111111111111();12111(1)(1)1kkkkkkkkkkkkk④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn⑤2122(1)2(1)11nnnnnnnnn(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法).(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法).(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题...下载可编辑.考点1：求数列的通项[题型1])(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。【例1】已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121[题型2]nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。【例2】已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312????nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32[题型3]qpaann1(其中p，q均为常数，且0)1(ppq)。解法(待定系数法)：转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。【例3】已知数列na中，11a，321nnaa，求na。解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项，2为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.[题型4]nnnqpaa1(其中p，q均为常数，且0)1)(1(qppq)。(或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数)。...下载可编辑.解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111?引入辅助数列nb(其中nnnqab)，得：qbqpbnn11再待定系数法解决。【例4】已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211??nnnnaa令nnnab?2，则1321nnbb,解之得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32[题型5]递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。【例5】已知数列na前n项和2214nnnaS.(1)求1na与na的关系；(2)求通项公式na.解：(1)由2214nnnaS得：111214nnnaS于是)2121()(1211nnnnnnaaSS所以11121nnnnaaannnaa21211.(2)应用题型4(nnnqpaa1，其中p，q均为常数，且0)1)(1(qppq)的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa由1214121111aaSa.于是数列nna2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以nnann2)1(22212nnna[题型6]rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1，再利用待定系数法求解。【例6】已知数列}{na中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列}{na的通项公式。...下载可编辑.解：由211nnaaa两边取对数得aaann1lglg2lg1，令nnablg，则abbnn1lg21，再利用待定系数法解得：12)1(nnaaa。考点2：数列求和[题型1]公式法【例7】已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足.,31,11121nnnnnbbbabb(1)求na的通项公式；(2)求nb的前n项和.解：(1)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=31，解得a1=2⋯2分通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1⋯6分(2)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=31bn，所以{bn}是公比为31的等比数列⋯9分...