第二章数列极限习题§1数列极限概念1、设na=nn)1(1，n=1，2，⋯，a=0。（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N：1=，2=，3=；（2）对1，2，3可找到相应的N，这是否证明了na趋于0应该怎样做才对；（3）对给定的ε是否只能找到一个N2、按ε—N定义证明：（1）nlim1nn=1；（2）nlim2312322nnn；（3）nlimnnn!；（4）nlimsinn=0；（5）nlimnan=0（a>0）。3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）nlimn1；（2）nlimn3；（3）nlim31n；（4）nlimn31；（5）nlimn21；（6）nlimn10；（7）nlimn21。4、证明：若nlimna=a，则对任一正整数k，有nlimkna=a。5、试用定义1证明：（1）数列{n1}不以1为极限；（2）数列{nn)1(}发散。6、证明定理，并应用它证明数列{nn)1(1}的极限是1。7、证明：若nlimna=a，则nlim|na|=|a|。当且仅当a为何值时反之也成立8、按ε—N定义证明：（1）nlim)1(nn=0；（2）nlim3321nn=0；（3）nlimna=1，其中,1nnn为偶数，na=nnn2，n为奇数。§2收敛数列的性质1、求下列极限：（1）nlim32413323nnnn；（2）nlim221nn；（3）nlim113)2(3)2(nnnn；（4）nlim)(2nnn；（5）nlim)1021(nnn；（6）nlimnn31313121212122。2、设nlimna=a，nlimnb=b，且aN时有na0，na>0，则nlimnna=1。§3数列极限存在的条件1、利用nlimnn)11(=e求下列极限：（1）nlimnn)11(；（2）nlim1)11(nn；（3）nlimnn)111(；（4）nlimnn)211(；（5）nlimnn)11(2。2、试问下面的解题方法是否正确：求nlimn2。解：设na=n2及nlimna=a。由于na=21na，两边取极限（n→∞）得a=2a，所以a=0。3、证明下列数列极限存在并求其值：（1）设1a=2，1na=na2，n=1，2，⋯；（2）设1a=c（c>0），1na=nac，n=1，2，⋯；（3）na=!ncn（c>0），n=1，2，⋯。4、利用{nn)11(}为递增数列的结论，证明{nn)111(}为递增数列。5、应用柯西收敛准则，证明以下数列{na}收敛：（1）na=nn2sin22sin21sin2；（2）na=222131211n。6、证明：若单调数列{na}含有一个收敛子列，则{na}收敛：7、证明：若na>0，且nlim1nnaa=l>1，则nlimna=0。8、证明：若{na}为递增（递减）有界数列，则nlimna=sup{na}（inf{na}）。又问逆命题成立否9、利用不等式1nb-1na>（n+1）na（b-a），b>a>0证明：{1)11(nn}为递减数列，并由此推出{nn)11(}为有界数列。10、证明：|e-nn)11(|1b），作出其等差中项2a=211ba与等比中项112bab，一般地令21nnnbaa，nnnbab1，n=1，2，⋯。证明：nlimna与nlimnb皆存在且相等。12、设{na}为有界数列，记na=sup{na，1na，⋯}，na=inf{na，1na，⋯}。证明：（1）对任何正整数n，na≥na；（2）{na}为递减有界数列，{na}为递增有界数列，且对任何正整数n，m有na≥ma；（3）设na和na分别是{na}和{na}的极限，则a≥a；（4）{na}收敛的充要条件是a=a。总练习题1、求下列数列的极限：（1）nlimnnn33；（2）nlimnen5；（3）nlim)122(nnn。2、证明：（1）nlimnqn2=0（|q|<1）；（2）nlimannlg=0（a≥1）；（3）nlimnn!1=0。3、设nlimna=a，证明：（1...
