2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷(考试时间:上午8:00—9:40)一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.如图,在正四棱锥P−ABCD中,∠APC=60°,则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为()A.B.C.D.2.设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合是()A.B.C.D.[−3,3]3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b。则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于()A.B.C.D.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于()A.B.C.−1D.15.设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是()6.已知A与B是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A与B的元素个数相同,且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为()A.62B.66C.68D.74二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7.在平面直角坐标系内,有四个定点A(−3,0),B(1,−1),C(0,3),D(−1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。8.在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,,若,则与的夹角的余弦值等于________。9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。10.已知等差数列{an}的公差d不为0,等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d,b1=d2,且是正整数,则q等于________。11.已知函数,则f(x)的最小值为________。12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作答)。三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13.设,求证:当正整数n≥2时,an+1
0成立的事件发生的概率等于(D)A.B.C.D.解:甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个。由不等式a−2b+10>0得2b