13.4课题学习最短路径问题•学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．•学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明想一想想一想小狗、小猫为什么都选择直的路？小狗、小猫为什么都选择直的路？难道难道它们也都它们也都懂数学？懂数学？草坪教学楼活动室小路两点之间线段最短.AB草坪教学楼活动室小路思考有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？垂线段最短。（一）两点在一直线两侧一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，它家在小溪的另一侧B处，美羊羊要回家就须过小溪。请问它从何处过小溪回家的路程最短？ABlAB转化为数学问题已知直线l，点A和点B在直线l两侧，在直线l上求作一点P，使PA+PB的值最小PC一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，喜羊羊在小溪的另一侧C处玩耍，它们的家在小溪的另一侧B处，美羊羊和喜羊羊约好在小溪边会合，然后一起回家。请问它们在何处会合回家的路程最短？ACB（二）两点在一直线同侧一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，它家在小溪的同一侧B处，美羊羊要到小溪洗洗在回家。请问它小溪的何处洗后回家的路程最短？ABCP探索新知追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al一次对称（1）从A地出发，到河边l洗手，然后到B地；（2）在河边吸收的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到洗手地点，再回到B地的路程之和；探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′B′CC探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CC证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CCC′C′探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CCC′C′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′B′CCC′C′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？及时小结回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′B′CCC′C′我们通过“轴对称变换”，进行等量转化，借助“两点之间线段最短”，把要求的两条线段移到同一直线上。引审应用两次对称（三）一点在两相交线所成角的内部如图，805班在元旦晚会上，将桌子摆成两排，AB桌上摆满了糖果，BC桌子上摆满水果，某同学从座位M起身拿糖果和水果，再回到座位。到何处拿，他所走的路程最短？ABCM引审应用两次对称（四）两点在两相交线所成角的内部如图，805班在元旦晚会上，将桌子摆成两排，AB桌上摆满了糖果，BC桌子上摆满水果，某同学从座位M起身拿糖果和水果，再回到座位N处。到何处拿，他所走的路程最短？ABCMN祝同学们天天开心，学习进步。
